Question

如圖，已知AE、BD相交于點C，AC=AD，BC=BE，F、G、H分別是DC、CE、AB的中點．
求證：（1）HF=HG；（2）∠FHG=∠DAC．

Answer 1

證明：（1）連接AF，BG，
∵AC=AD，BC=BE，F、G分別是DC、CE的中點，
∴AF⊥BD，BG⊥AE．
在直角三角形AFB中，
∵H是斜邊AB中點，
∴FH=

1

2

AB．
同理得HG=

1

2

AB，
∴FH=HG．

（2）∵FH=BH，
∴∠HFB=∠FBH；
∵∠AHF是△BHF的外角，
∴∠AHF=∠HFB+∠FBH=2∠BFH；
同理∠AGH=∠GAH，∠BHG=∠AGH+∠GAH=2∠AGH，
∴∠ADB=∠ACD=∠CAB+∠ABC=∠BFH+∠AGH．
又∵∠DAC=180°-∠ADB-∠ACD，
=180°-2∠ADB，
=180°-2（∠BFH+∠AGH），
=180°-2∠BFH-2∠AGH，
=180°-∠AHF-∠BHG，
而根據平角的定義可得：∠FHG=180°-∠AHF-∠BHG，
∴∠FHG=∠DAC．