Question

20．如圖，AB為⊙O的直徑，弦CD⊥AB，垂足為點(diǎn)P，直線BF與AD延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F，且∠AFB=∠ABC．
（1）求證：直線BF是⊙O的切線；
（2）若tan∠BCD=$\frac{1}{2}$，OP=1，求線段BF的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）欲證明直線BF是⊙O的切線，只要證明AB⊥BF即可．
（2）連接OC，設(shè)OC=OB=x，則PB=x-1，解直角三角形求得PC=2（x-1），在Rt△OPC中，利用勾股定理求出OB=$\frac{5}{3}$，進(jìn)而求得PD=PC=$\frac{4}{3}$，AB=$\frac{10}{3}$，AP=$\frac{8}{3}$由△APD∽△ABF，$\frac{AP}{AB}$=$\frac{PD}{BF}$，即可解決問題．

解答 （1）證明：∵∠AFB=∠ABC，∠ABC=∠ADC，
∴∠AFB=∠ADC，
∴CD∥BF，
∴∠APD=∠ABF，
∵CD⊥AB，
∴AB⊥BF，
∴直線BF是⊙O的切線．
（2）解：連接OC，
∵CD⊥AB，
∴PD=$\frac{1}{2}$CD，
設(shè)OC=OB=x，
∴PB=x-1，
∵tan∠BCD=$\frac{1}{2}$，
∴PC=2（x-1），
在Rt△POC中，OC²=PC²+OP²，
∴x²=（2x-2）²+1²，
解得x=$\frac{5}{3}$，x=1（舍去），
∴OB=$\frac{5}{3}$，
∴PD=PC=$\frac{4}{3}$，AB=$\frac{10}{3}$，AP=$\frac{8}{3}$
∵∠PAD=∠BAF，∠APD=∠ABF，
∴△APD∽△ABF，
∴$\frac{AP}{AB}$=$\frac{PD}{BF}$，
∴$\frac{\frac{8}{3}}{\frac{10}{3}}$=$\frac{\frac{4}{3}}{BF}$，
∴BF=$\frac{5}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查切線的判定，垂徑定理、勾股定理．相似三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用這些知識(shí)解決問題，學(xué)會(huì)條件常用輔助線，屬于中考常考題型．