Question

9．如圖，點D是等邊三角形ABC外接圓上一點．M是BD上一點，且滿足DM=DC，點E是AC與BD的交點．
（1）求證：CM∥AD；
（2）如果AD=1，CM=2．求線段BD的長及△BCE的面積．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)△ABC是正三角形，得出∠ADB=∠BDC=60°，再根據(jù)DM=DC，得到DM=CM=CD，最后根據(jù)∠ADB=∠DMC=60°，可判定CM∥AD；
（2）先根據(jù)△ADC≌△BMC，得出BD=3，再根據(jù)△ADE∽△CME，得到DE=$\frac{2}{3}$，ME=$\frac{4}{3}$，且AE=$\frac{1}{3}$AC，最后判定△ABE∽△DCE，得出$\frac{DC}{AB}$=$\frac{EC}{BE}$，即$\frac{2}{AB}$=$\frac{\frac{2}{3}AC}{1+\frac{4}{3}}$，求得AB=$\sqrt{7}$=BC，根據(jù)AE：CE=AD：CD=1：2，可得CE=$\frac{2}{3}$AC，最后根據(jù)△BCE的面積=$\frac{2}{3}$×△ABC的面積，求得S_△BCE即可．

解答 解：（1）∵△ABC是正三角形，
∴$\widehat{AB}$=$\widehat{BC}$，
∴∠ADB=∠BDC=60°，
又∵DM=DC，
∴△CDM是等邊三角形，即DM=CM=CD，
∴∠DMC=60°，
∴∠ADB=∠DMC=60°，
∴CM∥AD；

（2）∵∠DAC=∠DBC，∠BMC=∠ADC=120°，而AC=BC，
∴△ADC≌△BMC，
∴BM=AD=1，
∴BD=BM+MD=1+2=3，
由（1）可得，△ADE∽△CME，而AD=1，CM=2，
∴$\frac{AD}{CM}$=$\frac{AE}{CE}$=$\frac{DE}{ME}$=$\frac{1}{2}$，
又∵M(jìn)D=2，
∴DE=$\frac{2}{3}$，ME=$\frac{4}{3}$，
∵$\frac{AE}{CE}$=$\frac{1}{2}$，且點E在線段AC上，
∴AE=$\frac{1}{3}$AC，
∵∠BAC=∠BDC=60°，∠ABD=∠ACD，
∴△ABE∽△DCE，
∴$\frac{DC}{AB}$=$\frac{EC}{BE}$，
∴$\frac{2}{AB}$=$\frac{\frac{2}{3}AC}{1+\frac{4}{3}}$，
又∵AB=AC，
∴AB²=7，即AB=$\sqrt{7}$=BC，
∵AD=1，CM=2，CM=CD，
∴AD：CD=1：2，
又∵∠ADE=∠CDE=60°，
∴BD平分∠ADC，
∴AE：CE=AD：CD=1：2，
∴CE=$\frac{2}{3}$AC，
∴△BCE的面積=$\frac{2}{3}$×△ABC的面積=$\frac{2}{3}$×$\frac{\sqrt{3}}{4}$×（$\sqrt{7}$）²=$\frac{7}{6}\sqrt{3}$．

點評 本題主要考查了三角形的外接圓與外心、等邊三角形的性質(zhì)以及角平分線的性質(zhì)的綜合應(yīng)用，解決問題的關(guān)鍵是根據(jù)全等三角形的性質(zhì)以及相似三角形的性質(zhì)進(jìn)行求解．