Question

4．設實數x，y滿足x²+xy+y²=2，求x²-xy+y²的最大、最小值．

Answer 1

分析 觀察可看出未知數的值沒有直接給出，而是隱含在題中，需要對所求代數式進行整理然后求解．

解答 解：設x²-xy+y²=A，
∵x²+xy+y²=2，
兩式相加可得，2（x²+y²）=2+A，①
兩式相減得到：2xy=2-A，②
①+②×2得：2（x²+y²）+4xy=2（x+y）²=6-A≥0，
∴A≤6，
①-②×2得：2（x-y）²=3A-2≥0，
∴A≥$\frac{2}{3}$，
綜上：$\frac{2}{3}$≤A≤6，即最大是6，最小值是$\frac{2}{3}$．

點評 本題考查了配方法的應用，完全平方公式，關鍵是設一個未知數，然后利用完全平方公式相加或相減，再根據平方數非負數的性質得出它的最大值和最小值．