Question

12．如圖，已知反比例函數y=$\frac{3}{x}$的圖象與正比例函數y=kx（k＞0，k≠3），y=3x的圖象分別交于A，B，C，D四點．
（1）若點A的坐標為（2，$\frac{3}{2}$），寫出B，C，D三點的坐標；
（2）證明四邊形ACBD是平行四邊形；
（3）當k為何值時，四邊形ACBD是矩形？求出此時四邊形ACBD的面積．

Answer 1

分析 （1）先根據點A的坐標求出k的值，分別列方程組求四個交點的坐標；
（2）根據反比例函數是中心對稱圖形可知：OA=OB，OC=OD，所以對角線互相平分的四邊形是平行四邊形，則四邊形ACBD是平行四邊形；
（3）先列方程組求出點A的坐標，當四邊形ACBD是矩形時，OA=OC，根據第1問中點C的坐標利用勾股定理求出OC的長，由OA=OC列式可求得k的值，再求矩形的長和寬，代入面積公式可得矩形面積．

解答 解：（1）把A的坐標為（2，$\frac{3}{2}$）代入y=kx中得：2k=$\frac{3}{2}$，
k=$\frac{3}{4}$，
∴正比例函數解析式為：y=$\frac{3}{4}$x；
由題意得：$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{3}{x}}\\{y=\frac{3}{4}x}\end{array}\right.$    解得：$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=2}\\{{y}_{1}=\frac{3}{2}}\end{array}\right.$  $\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=-2}\\{{y}_{2}=-\frac{3}{2}}\end{array}\right.$，
$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{3}{x}}\\{y=3x}\end{array}\right.$     解得：$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=1}\\{{y}_{1}=3}\end{array}\right.$   $\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=-1}\\{{y}_{2}=-3}\end{array}\right.$，
∴B（-2，-$\frac{3}{2}$），C（1，3），D（-1，-3）；
（2）∵反比例函數y=$\frac{3}{x}$的圖象是關于原點O的中心對稱圖形
∴OA=OB，OC=OD
∴四邊形ACBD是平行四邊形；
（3）若四邊形ACBD是矩形，
∴AB=CD，
∵OA=OB，OC=OD，
∴OC=OA，
∵C（1，3），
∴OA=OC=$\sqrt{10}$，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{3}{x}}\\{y=kx}\end{array}\right.$   解得：$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=\sqrt{\frac{3}{k}}}\\{{y}_{1}=\sqrt{3k}}\end{array}\right.$  $\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=-\sqrt{\frac{3}{k}}}\\{{y}_{2}=-\sqrt{3k}}\end{array}\right.$，
∴A（$\sqrt{\frac{3}{k}}$，$\sqrt{3k}$），
∴$（\sqrt{\frac{3}{k}}）^{2}+（\sqrt{3k}）^{2}$=（$\sqrt{10}$）²，
3k²-10k+3=0，
（3k-1）（k-3）=0，
k₁=$\frac{1}{3}$，k₂=3（舍），
∴正比例函數解析式為：y=$\frac{1}{3}$x；
∴A（3，1），
分別過A、C作x軸、y軸的垂線，交于點E，則△AEC是直角三角形，
AE=3-1=2，CE=3-1=2，
由勾股定理得：AC=$\sqrt{{2}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{2}$，
BC=$\sqrt{A{B}^{2}-A{C}^{2}}$=$\sqrt{（2\sqrt{10}）^{2}-（2\sqrt{2}）^{2}}$=4$\sqrt{2}$，
∴S_矩形ABCD=BC•AC=4$\sqrt{2}$×$2\sqrt{2}$=16．

點評 本題是四邊形與函數的綜合題，考查了矩形、平行四邊形的性質和判定、一次函數和反比例函數的交點問題，確定兩函數交點時，將兩函數的解析式列方程組，其解就是交點坐標；同時要熟練掌握矩形、平行四邊形的性質和判定；注意數形結合的思想，及坐標與圖形的特點．