Question

7．如圖，在矩形ABCD中，點P為AB上一個動點，以DP為折線翻折△APD得到△DPE，A的對應點為點E，連接BE，若AB=3，AD=4，當△BEP為直角三角形時，求AP的長．

Answer 1

分析 由矩形的性質和勾股定理求出BD=$\sqrt{A{B}^{2}+A{D}^{2}}$=5，由折疊的性質得出ED=AD=4，PE=AP，∠PED=∠A=90°，則∠PEB=90°，BE=1，設AP=PE=x，則PB=3-x，由勾股定理得出方程，解方程即可．

解答 解：∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠A=90°，
∴BD=$\sqrt{A{B}^{2}+A{D}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5，
由折疊的性質得：△DPE≌△DPA，
∴ED=AD=4，PE=AP，∠PED=∠A=90°，
∴∠PEB=90°，
∴BE=BD=5-4=1，
設AP=PE=x，則PB=3-x，
由勾股定理得：PE²+BE²=PB²，
即x²+1²=（3-x）²，
解得：x=$\frac{4}{3}$，
即AP的長為$\frac{4}{3}$．

點評 本題考查了矩形的性質、勾股定理、翻折變換的性質；熟練掌握翻折變換和矩形的性質，由勾股定理得出方程是解決問題的關鍵．