Question

3．如圖，在平面直角坐標系中，直線y=-$\frac{3}{4}$x-3與x軸、y軸分別交于A、B兩點，C為x軸正半軸上一點，S_△ABC=9．
（1）求點C的坐標；
（2）若線段AB上一點M到坐標軸的距離相等．
①求點M的坐標及直線OM的函數表達式；
②若點P為直線OM上一動點，且∠APM=∠CPM，求點P的坐標．

Answer 1

分析 （1）由題意可得A（-4，0），B（0，-3），設C（m，0），由S_△ABC=9，可得方程$\frac{1}{2}$•（4+m）×3=9，解方程即可．
（2）①由題意可知，OM是一、三象限的角平分線，所以直線OM的解析式為y=x，列出方程組解方程組即可求出點M坐標．
②設點P（m，m），作OE⊥AP于E，OF⊥PC于F．由$\frac{{S}_{△PAO}}{{S}_{△POC}}$=$\frac{\frac{1}{2}•PA•OE}{\frac{1}{2}•PC•OF}$=$\frac{OA}{OC}$，因為∠APM=∠CPM，OE⊥AP于E，OF⊥PC于F，可得OE=OF，所以$\frac{PA}{PC}$=$\frac{OA}{OC}$=2，所以PA=2PC，所以PA²=4•PC²，由此可得方程（m+4）²+m²=4[（m-2）²+m²]，解方程即可．

解答 解：（1）∵直線y=-$\frac{3}{4}$x-3與x軸、y軸分別交于A、B兩點，
∴可得A（-4，0），B（0，-3），設C（m，0），
由題意$\frac{1}{2}$•（4+m）×3=9，
∴m=2，
∴點C坐標為（2，0）．

（2）①點M到坐標軸的距離相等，
∴OM是一、三象限的角平分線，
∴直線OM的解析式為y=x，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=x}\\{y=-\frac{3}{4}x-3}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{12}{7}}\\{y=-\frac{12}{7}}\end{array}\right.$，
∴點M坐標為（-$\frac{12}{7}$，-$\frac{12}{7}$）．

②如圖，設點P（m，m），作OE⊥AP于E，OF⊥PC于F．
∵$\frac{{S}_{△PAO}}{{S}_{△POC}}$=$\frac{\frac{1}{2}•PA•OE}{\frac{1}{2}•PC•OF}$=$\frac{OA}{OC}$，
又∵∠APM=∠CPM，OE⊥AP于E，OF⊥PC于F．
∴OE=OF，
∴$\frac{PA}{PC}$=$\frac{OA}{OC}$=2，
∴PA=2PC，
∴PA²=4•PC²，
∴（m+4）²+m²=4[（m-2）²+m²]，
∴m=4或0（舍棄），
∴點P的坐標為（4，4）．

點評 本題考查一次函數綜合題、角平分線的性質定理、兩點間距離公式等知識，解題的關鍵是學會構建一次函數，利用方程組求兩個函數的交點坐標，學會用方程的思想思考問題，所以中考壓軸題．