Question

10．（1）如圖1，直線AB，CD相交于點O，OE⊥AB，OF⊥CD．
①直接寫出圖中∠AOF的余角；
②如果∠EOF=$\frac{1}{5}$∠AOD，求∠EOF的度數．
（2）如圖2，已知O為線段AB中點，AC=$\frac{2}{3}$AB，BD=$\frac{4}{5}$AB，線段OC長為1，求線段AB，CD的長．

Answer 1

分析 （1）①由垂直的定義可知∠AOF+∠COA=90°，∠AOF+∠FOE=90°，從而可知∠COA與∠FOE是∠AOF的余角，由對頂角的性質從而的得到∠BOD是∠AOF的余角；
②依據同角的余角相等可知∠FOE=∠DOB，∠EOF=$\frac{1}{5}$∠AOD，從而得到∠EOF=$\frac{1}{6}$平角．
（2）先根據中點的定義和已知得到OC所占的分率，從而得到線段AB的長，再根據已知得到CD所占的分率，從而得到線段CD的長．

解答 解：（1）①∵OE⊥AB，OF⊥CD，
∴∠AOF+∠COA=90°，∠AOF+∠FOE=90°．
∴∠COA與∠FOE是∠AOF的余角．
∵由對頂角相等可知：∠AOC=∠BOD，
∴∠BOD+∠AOF=90°．
∴∠BOD與∠APF互為余角．
∴∠AOF的余角為∠AOC，∠FOE，∠BOD；
②∵∠AOC=∠EOF，∠AOC+∠AOD=180°，∠EOF=$\frac{1}{5}$∠AOD，
∴6∠AOC=180°．
∴∠EOF=∠AOC=30°．
（2）∵O為線段AB中點，
∴AO=$\frac{1}{2}$AB，
∵AC=$\frac{2}{3}$AB，
∴OC=$\frac{1}{6}$AB，
∵線段OC長為1，
∴AB=6，
∵AC=$\frac{2}{3}$AB，BD=$\frac{4}{5}$AB，
∴CD=AC+BD-AB=$\frac{7}{15}$AB=$\frac{7}{15}$×6=$\frac{14}{5}$．

點評 本題主要考查的是垂線、余角的定義、對頂角、鄰補角的定義，掌握相關性質是解題的關鍵．