Question

2．如圖，AB是⊙O的直徑，C、D在⊙O上，D是弧AC的中點，過點D作DE⊥BC于點E，并交BA延長線于點F，若AB=9，CE=1，則AD的長為（　　）

• A． 2
• B． 2.4
• C． 3
• D． 3.6

Answer 1

分析 連接AD，OD、AC，OD交AC于點M，由圓周角定理得出∠ACB=90°，OD=OA=$\frac{1}{2}$AB=4.5，得出∠ECM=90°，由垂徑定理得出OD⊥AC，證出四邊形DECM是矩形，得出DM=CE=1，∴OM=OD-DM=3.5，在Rt△AOM中，由勾股定理得出AM=2$\sqrt{2}$，在Rt△AOD中，由勾股定理求出AD即可．

解答 解：連接AD，OD、AC，OD交AC于點M，如圖所示：
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ACB=90°，OD=OA=$\frac{1}{2}$AB=4.5，
∴∠ECM=90°，
∵D是弧AC的中點，
∴OD⊥AC，
∴四邊形DECM是矩形，
∴DM=CE=1，
∴OM=OD-DM=3.5，
在Rt△AOM中，AM=$\sqrt{O{A}^{2}-O{M}^{2}}$=$\sqrt{4．{5}^{2}-3．{5}^{2}}$=2$\sqrt{2}$，
在Rt△AOD中，AD=$\sqrt{O{D}^{2}-A{M}^{2}}$=$\sqrt{9}$=3；
故選：C．

點評 本題考查了圓周角定理、垂徑定理、矩形的判定與性質、勾股定理；熟練掌握圓周角定理和垂徑定理，證出四邊形是矩形是解決問題的關鍵．