Question

8．在矩形ABCD中，AD=2AB，點E在AD上，連接BE、CE，若△BCE是以BC為腰的等腰三角形，則∠AEB的度數為30°或75°．

Answer 1

分析 分類討論：當BE=BC時，如圖1，利用sin∠AEB=$\frac{AB}{BE}$=$\frac{1}{2}$可得到∠AEB=30°；當CE=CB，如圖2，同樣方法可得∠CED=30°，再利用AD∥BC得到∠BCE=30°，∠CBE=∠AEB，接著根據等腰三角形的性質和三角形內角和得到∠CBE=75°，于是得到∠AEB=75°，綜上所述，∠AEB的度數為30°或75°．

解答 解：當BE=BC時，如圖1，

∵四邊形ABCD為矩形，
∴BC=AD=2AB，∠A=90°，
∴BE=2AB，
在Rt△ABE中，∵sin∠AEB=$\frac{AB}{BE}$=$\frac{1}{2}$，
∴∠AEB=30°；
當CE=CB，如圖2，

同樣可得∠CED=30°，
∵AD∥BC，
∴∠BCE=30°，∠CBE=∠AEB，
∵CE=CB，
∴∠CBE=∠CEB，
∴∠CBE=$\frac{1}{2}$（180°-30°）=75°，
∴∠AEB=75°，
綜上所述，∠AEB的度數為30°或75°．
故答案為30°或75°．

點評 本題考查了矩形的性質：平行四邊形的性質矩形都具有；矩形的四個角都是直角．也考查了等腰三角形的性質．