Question

13．在△ABC中，AD是高，E是AD的中點，連接CE，并延長交AB于點P，過點A作AQ∥BC，交CP的延長線于點Q，BD：CD：AD=1：2：3．
（1）求$\frac{AP}{PB}$的值；        
（2）若BD=5，求CQ的長．

Answer 1

分析 （1）設BD=x，根據題意用x表示出CD、AD、BC，根據相似三角形的性質列出比例式，計算即可；
（2）根據勾股定理求出CE，根據三角形中位線定理求出CQ即可．

解答 解：（1）設BD=x，則CD=2x，AD=3x，BC=BD+CD=3x，
∵AQ∥BC，
∴$\frac{AQ}{CD}$=$\frac{AE}{DE}$=1，
∴AQ=CD=2x，
∴$\frac{AP}{PB}$=$\frac{AQ}{BC}$=$\frac{2}{3}$；
（2）∵BD=5，BD：CD：AD=1：2：3，
∴CD=10，AD=15，
∵E是AD的中點，
∴DE=$\frac{1}{2}$AD=7.5，
由勾股定理得，CE=$\sqrt{C{D}^{2}+D{E}^{2}}$=$\frac{25}{2}$，
∴CQ=25．

點評 本題平行線分線段成比例的性質、三角形中位線定理，掌握平行線分線段成比例的性質是解題的關鍵．