Question

1．如圖，四邊形ABCD中，∠B=∠C=90°，E是BC的中點，DE平分∠ADC．
（1）求證：AE平分∠BAD；
（2）判斷AB、CD、AD之間的數量關系，并證明；
（3）若AD=10，CB=8，求S_△ADE．

Answer 1

分析 （1）過點E作EF⊥DA于點F，首先根據角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等可得CE=EF，根據等量代換可得BE=EF，再根據角平分線的判定可得AE平分∠BAD；
（2）首先證明Rt△DFE和Rt△DCE可得DC=DF，同理可得AF=AB，再由AD=AF+DF利用等量代換可得結論；
（3）根據角平分線的性質可得EF=CE，再利用三角形的面積公式可得答案．

解答 （1）證明：過點E作EF⊥DA于點F，
∵∠C=90°，DE平分∠ADC，
∴CE=EF，
∵E是BC的中點，
∴BE=CE，
∴BE=EF，
又∵∠B=90°，EF⊥AD，
∴AE平分∠BAD．

（2）證明：AD=CD+AD，
∵∠C=∠DFE=90°，
∴在Rt△DFE和Rt△DCE中$\left\{\begin{array}{l}{DE=DE}\\{EF=CE}\end{array}\right.$，
∴Rt△DFE和Rt△DCE（HL），
∴DC=DF，
同理AF=AB，
∵AD=AF+DF，
∴AD=CD+AD；

（3）解：∵CB=8，E是BC的中點，
∴CE=4，
∴EF=4，
∵AD=10，
∴S_△ADE=10×4×$\frac{1}{2}$=20．

點評 此題主要考查了角平分線的性質和判定，以及全等三角形的性質和判定，關鍵是掌握角平分線的性質和判定定理．