Question

13．如圖，C是以AB為直徑的⊙O上一點(diǎn)，過O作OE⊥AC于點(diǎn)E，過點(diǎn)A作⊙O的切線交OE的延長線于點(diǎn)F，連接CF并延長交BA的延長線于點(diǎn)P．
（1）求證：PC是⊙O的切線．
（2）若AF=1，OA=2$\sqrt{2}$，求PC的長．

Answer 1

分析 （1）連接OC，根據(jù)垂徑定理，利用等角代換可證明∠FAC=∠FCA，然后根據(jù)切線的性質(zhì)得出∠FAO=90°，然后即可證明結(jié)論．
（2）先證明△PAF∽△PCO，利用相似三角形的性質(zhì)得出PC與PA的關(guān)系，在Rt△PCO中，利用勾股定理可得出x的值，繼而也可得出PC得長．

解答 解：（1）證明：連接 OC，
∵OE⊥AC，
∴AE=CE，F(xiàn)A=FC，
∴∠FAC=∠FCA，
∵OA=OC（圓的半徑相等），
∴∠OAC=∠OCA，
∴∠OAC+∠FAC=∠OCA+∠FCA，即∠FAO=∠FCO，
∵FA 與⊙O 相切，且 AB 是⊙O 的直徑，
∴FA⊥AB，
∴∠FCO=∠FAO=90°，
∵CO 是半徑，
∴PC 是⊙O 的切線；

（2）解：∵PC 是⊙O 的切線，
∴∠PCO=90°，又∵∠FPA=∠OPC，∠PAF=90°，
∴△PAF∽△PCO，
∴$\frac{PA}{PC}$=$\frac{AF}{CO}$，
∵CO=OA=2$\sqrt{2}$，AF=1，
∴PC=2$\sqrt{2}$PA，
設(shè) PA=x，則 PC=2$\sqrt{2}$x．
在 Rt△PCO 中，由勾股定理得：（2$\sqrt{2}$x）²+（2$\sqrt{2}$）²=（x+2$\sqrt{2}$）²，
解得x=$\frac{4\sqrt{2}}{7}$，
∴PC=2$\sqrt{2}$×$\frac{4\sqrt{2}}{7}$=$\frac{16}{7}$．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了切線的性質(zhì)、勾股定理、圓周角定理、相似三角形的判定與性質(zhì)，涉及知識(shí)點(diǎn)較多，解答本題要求熟練掌握切線的判定定理及性質(zhì)，有一定難度．