Question

3．已知關于x的方程 x²-5x-m²-2m-7=0．
（1）若此方程的一個根為-1，求m的值；
（2）求證：無論m取何實數，此方程都有兩個不相等的實數根．

Answer 1

分析 （1）把x=-1代入原方程得到關于m的一元二次方程，然后解關于m的一元二次方程即可；
（2）進行判別式的值，利用完全平方公式變形得到△=4（m+1）²+49，然后利用非負數的性質可判斷△＞0，從而根據判別式的意義可判斷方程根的情況．

解答 （1）解：把x=-1代入x²-5x-m²-2m-7=0得1+5-m²-2m-7=0，解得m₁=m₂=-1，
即m的值為1；
（2）證明：△=（-5）²-4（-m²-2m-7）
=4（m+1）²+49，
∵4（m+1）²≥0
∴△＞0，
∴方程都有兩個不相等的實數根．

點評 本題考查了根的判別式：一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根與△=b²-4ac有如下關系：當△＞0時，方程有兩個不相等的兩個實數根；當△=0時，方程有兩個相等的兩個實數根；當△＜0時，方程無實數根．