Question

15．定義：如果三角形有一邊上的中線長恰好等于這邊的長，那么稱這個三角形為“奇異三角形”，這條中線為“奇異中線”．
（1）請根據定義解答：
①判斷，命題：“如果直角三角形是奇異三角形，那么奇異中線一定是較長直角邊上的中線”是真命題還是假命題；
②請用直尺和圓規在圖①中畫一個以AB為邊的“奇異三角形”；
（2）如圖②，在Rt△ABC中，∠C=90°，$\frac{BC}{AC}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，求證：△ABC是“奇異三角形”．
（3）已知，等腰△ABC是“奇異三角形”，AB=AC=20，求底邊BC的長．（結果保留根號）

Answer 1

分析 （2）①根據“奇異中線”的定義以及直角三角形的性質進行判斷，即可得出結論；②作線段AB的中垂線，交AB于D，以D為圓心AB長為半徑畫弧，在弧上取一點C，連接AC，BC，則△ABC即為所求；
（2）取AC的中點D，連結BD，設AC=2x，則CD=AD=x，BC=$\sqrt{3}$x，在Rt△BCD中，根據勾股定理求得BD=2x，即可得出BD=AC，即△ABC是“奇異三角形”；
（3）需要分兩種情況：①當腰上的中線BD=AC時，則AB=BD，過B作BE⊥AD于E，根據等腰三角形的性質以及勾股定理，即可求得BC的長；②當底邊上的中線AD=BC時，則AD⊥BC，且AD=2BD，根據等腰三角形的性質以及勾股定理，列出方程，即可求得BC的長．

解答 解：（1）①∵直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，直角三角形較短直角邊上的中線大于較長直角邊，
∴如果直角三角形是奇異三角形，那么奇異中線一定是較長直角邊上的中線，
∴該命題是真命題；
②如圖①，作線段AB的中垂線，交AB于D，以D為圓心AB長為半徑畫弧，在弧上取一點C，連接AC，BC，則△ABC即為所求；


（2）證明：如圖②，取AC的中點D，連結BD，

設AC=2x，則CD=AD=x，
∵$\frac{BC}{AC}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴BC=$\sqrt{3}$x，
在Rt△BCD中，BD=$\sqrt{B{C}^{2}+C{D}^{2}}$=$\sqrt{（\sqrt{3}x）^{2}+{x}^{2}}$=2x，
∴BD=AC，
∴△ABC是“奇異三角形”；

（3）分兩種情況：
如圖③，當腰上的中線BD=AC時，則AB=BD，過B作BE⊥AD于E，

∵AB=AC=20，
∴BD=20，ED=$\frac{1}{2}$AD=$\frac{1}{4}$AC=5，
∴CE=10+5=15，
∴Rt△BDE中，BE²=BD²-DE²=375，
∴Rt△BCE中，BC=$\sqrt{B{E}^{2}+C{E}^{2}}$=$\sqrt{375+225}$=$\sqrt{600}$=10$\sqrt{6}$；
如圖④，當底邊上的中線AD=BC時，則AD⊥BC，且AD=2BD，

設BD=x，則x²+（2x）²=20²，
∴x²=80，
又∵x＞0，
∴x=$\sqrt{80}$=4$\sqrt{5}$，
∴BC=2x=8$\sqrt{5}$．
綜上所述，底邊BC的長為10$\sqrt{6}$或8$\sqrt{5}$．

點評 本題屬于三角形綜合題，主要考查了等腰三角形的性質，勾股定理，二次根式的化簡以及中線定義的綜合應用，解決問題的關鍵是運用等腰三角形三線合一的性質以及勾股定理進行計算求解．解題時注意：等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合．