Question

16．【定義】已知P為△ABC所在平面內(nèi)一點，連接PA，PB，PC，在△PAB，△PBC和△PAC中，若存在一個三角形與△ABC相似（全等除外），那么就稱P為△ABC的“共相似點”，根據(jù)“共相似點”是否落在三角形的內(nèi)部，邊上或外部，可將其分為“內(nèi)共相似點”，“邊共相似點”或“外共相似點”．
（1）據(jù)定義可知，等邊三角形不存在（填“存在”或“不存在”）共相似點．
【探究1】用邊共相似點探究三角形的形狀
（2）如圖1，若△ABC的一個邊共相似點P與其對角頂點B的連線，將△ABC分割成的兩個三角形恰與原三角形均相似，試判斷△ABC的形狀，并說明理由．
【探究2】用內(nèi)共相似點探究三角形的內(nèi)角關(guān)系
（3）如圖2，在△ABC中，∠A＜∠B＜∠C，高線CD與角平分線BE交于點P，若P是△ABC的一個內(nèi)共相似點，試說明點E是△ABC的邊共相似點，并直接寫出∠A的度數(shù)．
【探究3】探究直角三角形共相似點的個數(shù)
（4）如圖3，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=$\sqrt{3}$，若△PBC與△ABC相似，則滿足條件的P點共有8個，順次連接所有滿足條件的P點而圍成的多邊形的周長為6+$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)“共相似點”的定義容易得出結(jié)論．
（2）根據(jù)題意得：△ABP∽△ACB，由相似三角形的性質(zhì)得出∠ABP=∠C，同理得：∠CBP=∠A，得出∠ABC=∠A+∠C=180°-∠ABC，求出∠ABC=90°即可；
（3）根據(jù)題意得：△PBC∽△CAB，由相似三角形的性質(zhì)得出∠PBC=∠A，∠PCB=∠ABC，再由角平分線角平分線定義得出∠A=∠ABE=∠PBC，證出△BEC∽△ABC，得出點E是△ABC的邊共相似點；由直角三角形的性質(zhì)得出∠PCB+∠ABC=90°，得出2∠A+2∠A=90°，求出∠A=22.5°；
（4）通過作圖得出△ABC的“共相似點”共有8個，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和直角三角形的性質(zhì)得：順次連接所有滿足條件的P點而圍成的多邊形的周長為6+$\sqrt{3}$．

解答 解：（1）根據(jù)“共相似點”的定義得：等邊三角形不存在共相似點．
故答案為：不存在；
（2）△ABC是直角三角形，理由如下：
根據(jù)題意得：△ABP∽△ACB，
∴∠ABP=∠C，
同理得：∠CBP=∠A，
∴∠ABC=∠A+∠C=180°-∠ABC，
解得：∠ABC=90°，
∴△ABC是直角三角形；
（3）根據(jù)題意得：△PBC∽△CAB，
∴∠PBC=∠A，∠PCB=∠ABC，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠PBC，
∴∠A=∠ABE=∠PBC，
∴∠PCB=∠ABC=2∠A=2∠PBC，
∵∠BCE=∠ACB，∠PBC=∠A，
∴△BEC∽△ABC，
∴點E是△ABC的邊共相似點；
∵CD是△ABC的高，
∴∠CDB=90°，
∴∠PCB+∠ABC=90°，
∴2∠A+2∠A=90°，
解得：∠A=22.5°；
（4）作CP⊥AB于P，則P為△ABC的“共相似點”；
過B作BC的垂線與CP的延長線的交點是△ABC的“共相似點”；
作∠ABC的平分線與AC的交點P₁是△ABC的“共相似點”；
過C作BP₁的垂線，垂足是△ABC的“共相似點”；
同理：以上四個△ABC的“共相似點”關(guān)于直線BC的對稱點是△ABC的“共相似點”；
∴△ABC的“共相似點”共有8個，如圖所示：
根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和直角三角形的性質(zhì)得：順次連接所有滿足條件的P點而圍成的多邊形的周長為 2×2+4×$\frac{1}{2}$+2×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=6+$\sqrt{3}$；
故答案為：8；6+$\sqrt{3}$．

點評 本題是相似形綜合題目，考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)等知識；理解“共相似點”定義，證明三角形相似是解決問題的關(guān)鍵．