Question

5．已知平行四邊形ABCD的兩鄰邊AB、AD的長是關于x的一元二次方程x²-mx+$\frac{m}{2}$-$\frac{1}{4}$=0的兩個實數根．
（1）當m為何值時，四邊形ABCD是菱形？
（2）若AB的長為2，那么平行四邊形ABCD的周長是多少？

Answer 1

分析 （1）根據菱形的性質可得出AB=AD，由根的判別式即可得出關于m的一元二次方程，解之即可得出m的值；
（2）將x=2代入一元二次方程可求出m的值，再根據根與系數的關系即可得出AB+AD的值，利用平行四邊形的性質即可求出平行四邊形ABCD的周長．

解答 解：（1）∵四邊形ABCD是菱形，
∴AB=AD，
∵AB、AD的長是關于x的一元二次方程x²-mx+$\frac{m}{2}$-$\frac{1}{4}$=0的兩個實數根，
∴△=（-m）²-4（$\frac{m}{2}$-$\frac{1}{4}$）=m²-2m+1=0，
解得：m=1．
∴當m為1時，四邊形ABCD是菱形．
（2）將x=2代入x²-mx+$\frac{m}{2}$-$\frac{1}{4}$=0中，得：4-2m+$\frac{m}{2}$-$\frac{1}{4}$=0，
解得：m=$\frac{5}{2}$，
∵AB、AD的長是關于x的一元二次方程x²-mx+$\frac{m}{2}$-$\frac{1}{4}$=0的兩個實數根，
∴AB+AD=m=$\frac{5}{2}$，
∴平行四邊形ABCD的周長=2（AB+AD）=2×$\frac{5}{2}$=5．

點評 本題考查了根的判別式、菱形的性質、平行四邊形的性質以及根與系數的關系，解題的關鍵是：（1）根據根的判別式找出關于m的一元二次方程；（2）將x=2代入原方程求出m值．