Question

11．如圖，一張正方形紙板的邊長為2cm，將它剪去4個全等的直角三角形（圖中陰影部分）．設AE=BF=CG=DH=xcm，四邊形EFGH的面積為ycm²，
（1）求y關于x的函數表達式和自變量x的取值范圍；
（2）求四邊形EFGH的面積為3cm²時的x值；
（3）四邊形EFGH的面積可以為1.5cm²嗎？請說明理由．

Answer 1

分析 （1）先證出四邊形EFGH為正方形，用未知數x表示其任一邊長，根據正方形面積公式即可解決問題；
（2）代入y值，解一元二次方程即可；
（3）將面積y=2x²-4x+4改寫成完全平方的形式，可得知y≥2，故不能為cm²．

解答 解：（1）∵在正方形紙上剪去4個全等的直角三角形，
∴∠AHE=∠DGH，∠DGH+∠DHG=90°，HG=HE，
∵∠EHG=180°-∠AHE-∠DHG，
∴∠EHG=90°，四邊形EFGH為正方形，
在△AEH中，AE=x，AH=BE=AB-AE=2-x，∠A=90°，
∴HE²=AE²+AH²=x²+（2-x）²=2x²-4x+4，
正方形EFGH的面積y=HE²=2x²-4x+4，
∵AE，AH均為正值，
∴0＜x＜2，
故y關于x的函數表達式為：y=2x²-4x+4，自變量x的取值范圍0＜x＜2．
（2）將y=3代入y=2x²-4x+4中，整理得：2x²-4x+1=0，
解得：x₁=1+$\frac{\sqrt{2}}{2}$，x₂=1-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
故四邊形EFGH的面積為3cm²時的x的值為1+$\frac{\sqrt{2}}{2}$或1-$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
（3）四邊形EFGH的面積為：y=2x²-4x+4=2（x-1）²+2，（0＜x＜2），
∵（x-1）²≥0，
∴y≥2，
四邊形EFGH的面積不能為1.5cm²．

點評 本題考查二次函數的應用，解題的關鍵是找準數量關系，對于第三問，只要將關系式轉化成完全平方的形式，即可看出結論．