Question

4．如圖，AB為⊙O的直徑，E為⊙O上一點，∠EAB的平分線AC交⊙O于C點，過C點作CD⊥AE交AE的延長線于D點，直線CD與射線AB交于P點．
（1）求證：DC為⊙O切線；
（2）若DC=1，AC=$\sqrt{5}$，求⊙O的半徑長．

Answer 1

分析 （1）連接OC，根據角平分線的定義、等腰三角形的性質證明OC∥AD，得到∠OCP=∠D=90°，根據切線的判定定理證明；
（2）連接BC，根據勾股定理求出AD，根據相似三角形的性質計算即可．

解答 （1）證明：連接OC，
∵AC是∠EAB的平分線，
∴∠DAC=∠OAC，
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA，
∴∠DAC=∠OCA，
∴OC∥AD，
∴∠OCP=∠D=90°，
∴DC為⊙O切線；
（2）解：連接BC，
∵∠D=90°，DC=1，AC=$\sqrt{5}$，
∴AD=$\sqrt{A{C}^{2}-C{D}^{2}}$=2，
∵∠OAC=∠OCA，∠ACB=∠D，
∴△ADC∽△ACB，
∴$\frac{AD}{AC}$=$\frac{AC}{AB}$，即AC²=AD•AB，
則AB=$\frac{A{C}^{2}}{AD}$=$\frac{5}{2}$，
∴⊙O的半徑長為$\frac{5}{4}$．

點評 本題考查的是切線的判定、相似三角形的判定和性質、勾股定理的應用，掌握經過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線是解題的關鍵．