Question

1．在等腰Rt△ABC中∠ABC=90°，BA=BC，在等腰Rt△CDE中∠CDE=90°，DE=DC，連接AD．點F是線段AD的中點．
（1）如圖1，連接BF，當點D和點E分別在BC邊和AC邊上時，若AB=3，CE=2$\sqrt{2}$，求BF的長；
（2）如圖2，連接BE、BD、EF，當∠DBE=45°時，求證：EF=$\frac{1}{2}$ED；
（3）如圖3，連接BF，當點E在線段AC的垂直平分線上，且∠ACD=30°時，直接寫出（$\frac{BF}{CD}$）²的值．

Answer 1

分析 （1）在等腰直角三角形△DEC中，求出DC，在Rt△ABD中，利用勾股定理求出線段AD，再利用斜邊中線定理即可解決問題．
（2）如圖2中，延長EF到N，使得FN=EF，連接BN，延長DE交AB于M．由△AFN≌△DFE，推出AN=DE=DC，∠FAN=∠FDE，推出DM∥AN，推出∠OMB=∠BAN，由∠MOB+∠OMB=90°，∠DOC+∠COD=90°，∠MOB=∠DOC，推出∠OMB=∠OCD，推出∠BAN=∠BCD，推出△BAN≌△BCD，推出∠ABN=∠CBD，BN=BD，推出∠DBN=∠CBA=90°，再證明△BEN≌△BED，推出DE=EN=2EF，即可解決問題．
（3）如圖3中，連接AE，延長CD交AB于M，在BC上取一點N，使得NM=NC，設BM=m．首先證明△DBM∽△ABD，推出∠BAD=∠BDM=30°，推出∠ABD=∠ADB=75°，推出AB=AD，如圖4，作BH⊥AD于H，在BH上取一點G，使得BG=DG，設DH=a，想辦法用a表示BF²、BD²即可解決問題．

解答 （1）解：如圖1中，

在等腰Rt△CDE中，∵∠CDE=90°，DE=DC，CE=2$\sqrt{2}$，
∴DE=DC=2，
∵AB=BC=3，
∴BD=1，
在Rt△ABD中，AD=$\sqrt{A{B}^{2}+B{D}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{10}$，
∵AF=DF，
∴BF=$\frac{1}{2}$AD=$\frac{\sqrt{10}}{2}$．

（2）證明：如圖2中，延長EF到N，使得FN=EF，連接BN，延長DE交AB于M．

在△AFN和△DFE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AF=DF}\\{∠AFN=∠DFE}\\{FN=EF}\end{array}\right.$，
∴△AFN≌△DFE，
∴AN=DE=DC，∠FAN=∠FDE，
∴DM∥AN，
∴∠OMB=∠BAN，
∵∠MOB+∠OMB=90°，∠DOC+∠COD=90°，
∵∠MOB=∠DOC，
∴∠OMB=∠OCD，
∴∠BAN=∠BCD，
在△BAN和△BCD中，
$\left\{\begin{array}{l}{BA=BC}\\{∠BAN=∠BCD}\\{AN=CD}\end{array}\right.$，
∴△BAN≌△BCD，
∴∠ABN=∠CBD，BN=BD，
∴∠DBN=∠CBA=90°，
∵∠DBE=45°，
∴∠EBN=∠EBD，∵BE=BE，BN=BD，
∴△BEN≌△BED，
∴DE=EN=2EF．

（3）如圖3中，連接AE，延長CD交AB于M，在BC上取一點N，使得NM=NC，設BM=m．

∵∠ACD=30°，∠BCA=∠DCE=45°，
∴∠BCD=∠ACE=15°，
∵點E在線段AC的垂直平分線上，
∴EA=EC，
∴∠EAC=∠ECA=15°，
∵$\frac{AC}{BC}$=$\frac{EC}{CD}$=$\sqrt{2}$，
∴△BCD∽△ACE，
∴∠DBC=∠EAC=15°，
∴∠DBC=∠DCB=15°，
∴DB=DC，
∴∠DBM=∠DMB=75°，
∴DM=DB=DC，
在Rt△MNB中，∵BM=m，∠MNB=30°，
∴NM=CN=2m，BN=$\sqrt{3}$m，
∴CM=$\sqrt{B{M}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{{m}^{2}+（\sqrt{3}m+2m）^{2}}$=（$\sqrt{2}$+$\sqrt{6}$）m，
∴BD=$\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{2}$m，
∴BD²=（2+$\sqrt{3}$）m²，
∵BM•BA=BM•BC=m（2m+$\sqrt{3}$m）=（2+$\sqrt{3}$）m²，
∴BD²=BM•BA，
∴$\frac{BD}{AB}$=$\frac{BM}{BD}$，∵∠DBM=∠ABD，
∴△DBM∽△ABD，
∴∠BAD=∠BDM=30°，
∴∠ABD=∠ADB=75°，
∴AB=AD，
為了看清楚把△ABD移到如圖4，作BH⊥AD于H，在BH上取一點G，使得BG=DG，設DH=a，

則BG=DG=2a，GH=$\sqrt{3}$a，BD=（$\sqrt{2}$+$\sqrt{6}$）a，
在Rt△ABH中，∵∠A=30°，
∴AB=AD=2BH=（4+2$\sqrt{3}$）a，
∴AF=DF=（2+$\sqrt{3}$）a，
∴FH=（1+$\sqrt{3}$）a，
在Rt△BFH中，BF=$\sqrt{F{H}^{2}+B{H}^{2}}$=$\sqrt{（1+\sqrt{3}）^{2}{a}^{2}+（2+\sqrt{3}）^{2}{a}^{2}}$，
∴BF²=（11+6$\sqrt{3}$）a²，CD²=BD²=（8+4$\sqrt{3}$）a²，
∴（$\frac{BF}{CD}$）²=$\frac{11+6\sqrt{3}}{8+4\sqrt{3}}$=$\frac{4+\sqrt{3}}{4}$．

點評 本題考查三角形綜合題，全等三角形的判定和性質．相似三角形的判定和性質、勾股定理等腰直角三角形的性質、直角三角形斜邊中線的性質等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構造全等三角形或相似三角形解決問題，學會利用參數解決問題，本題體現了數形結合的思想，第三個問題的突破點是證明AB=AB，∠BAD=30°，題目比較難，屬于中考壓軸題．