Question

16．如圖，拋物線y=-x²+bx+c與直線y=x+4交于C、D兩點(diǎn)，其中點(diǎn)C在y軸上，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（6，7）．點(diǎn)P是y軸右側(cè)的拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作PE⊥x軸于點(diǎn)E，交CD于點(diǎn)F，作PM⊥CD于點(diǎn)M．
（1）求拋物線的解析式及sin∠PFM的值．
（2）設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m：
①若P在CD上方，用含m的代數(shù)式表示線段PM的長，并求出線段PM長的最大值；
②當(dāng)m為何值時(shí)，以O(shè)、C、P、F為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？請說明理由．

Answer 1

分析 （1）易求C點(diǎn)的坐標(biāo)，再把C和D點(diǎn)的坐標(biāo)代入拋物線y=-x²+bx+c可求出b和c的值則拋物線的解析式可求出；若要求sin∠PFM的值可轉(zhuǎn)化為求sin∠OCE；
（2）①設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m，則P（m，-m²+$\frac{13}{2}$m+4），F(xiàn)（m，m+4）．則PF=y_P-y_F=（-m²+$\frac{13}{2}$m+4）-（ m+4）=-m²+6m，進(jìn)而根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出線段PM長的最大值；
②若以O(shè)、C、P、F為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，只要PF=OC=4，構(gòu)建方程即可解決問題．

解答 解：（1）C在直線y=x+4上，
∴C（0，4）．
∵點(diǎn)C（0，4）、D（6，7）在拋物線y=-x²+bx+c上，
∴$\left\{\begin{array}{l}{c=4}\\{-36+6b+c=7}\end{array}\right.$，
解得 $\left\{\begin{array}{l}{b=\frac{13}{2}}\\{c=4}\end{array}\right.$，
∴拋物線的解析式為：y=-x²+$\frac{13}{2}$x+4．
∵直線CD的解析式為y=x+4，
∴易知∠PFM=45°，
∴sin∠PFM=sin45°=$\frac{\sqrt{2}}{2}$

（2）①設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m，則P（m，-m²+$\frac{13}{2}$m+4），F(xiàn)（m，m+4）．
∵PF=y_P-y_F=（-m²+$\frac{13}{2}$m+4）-（ m+4）=-m²+$\frac{11}{2}$m，
在Rt△PFM中，PM=PF sin∠PFM=$\frac{\sqrt{2}}{2}$（-m²+$\frac{11}{2}$m）
=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$（m-$\frac{11}{4}$）²+$\frac{121\sqrt{2}}{32}$，
∵-$\frac{\sqrt{2}}{2}$＜0，
∴當(dāng)m=$\frac{11}{4}$時(shí)，PM的最大值為$\frac{121\sqrt{2}}{32}$．
∴PM=$\frac{\sqrt{2}}{2}$（-m²+$\frac{11}{2}$m），PM的最大值為$\frac{121\sqrt{2}}{32}$．


②∵PF∥OC，
若以O(shè)、C、P、F為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，只要PF=OC=4，
由題意：（-m²+$\frac{13}{2}$m+4）-（ m+4）=4和（m+4）-（-m²+$\frac{13}{2}$m+4）=4，
解得m=$\frac{11±\sqrt{57}}{4}$或$\frac{11+\sqrt{185}}{4}$或$\frac{11-\sqrt{185}}{4}$（舍棄）
∴當(dāng)m為$\frac{11±\sqrt{57}}{4}$或$\frac{11-\sqrt{185}}{4}$時(shí)，以O(shè)、C、P、F為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形．

點(diǎn)評(píng) 本題是二次函數(shù)綜合題型，一次函數(shù)的應(yīng)用、平行四邊形的性質(zhì)、銳角三角函數(shù)、一元二次方程等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題，學(xué)會(huì)構(gòu)建二次函數(shù)解決最值問題，學(xué)會(huì)用方程的思想思考問題，屬于中考?jí)狠S題．