Question

7．如圖，AB為⊙O的直徑，CD⊥AB于點E，交⊙O于點D，OF⊥AC于點F，且OF=1．
（1）求BD的長；
（2）當∠D=30°時，求圓中$\widehat{AC}$的長和陰影部分的面積．

Answer 1

分析 （1）根據三角形的中位線定理可得BC=2OF=2，再利用垂徑定理可得$\widehat{BC}$=$\widehat{BD}$，推出BD=BC，即可解決問題．
（2）連接OC，利用弧長公式求出弧AC，再求出弓形的面積即可．

解答 解：（1）∵OF⊥AC，
∴AF=FC，∵OA=OB，
∴BC=2OF=2，
∵AB⊥CD，
∴$\widehat{BC}$=$\widehat{BD}$，
∴BD=BC=2．

（2）連接OC．
∵∠CAB=∠D=30°，OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA=30°，
∴∠AOC=120°，
在Rt△ABC中，∵∠ACB=90°，BC=2，∠CAB=30°，
∴AB=2BC=4，AC=$\sqrt{3}$BC=2$\sqrt{3}$，
∴$\widehat{AC}$的長=$\frac{120•π•2}{180}$=$\frac{4π}{3}$，
陰影部分的面積=$\frac{120•π•{2}^{2}}{360}$-$\frac{1}{2}$×$2\sqrt{3}$×1=$\frac{4π}{3}$-$\sqrt{3}$．

點評 本題考查垂徑定理、勾股定理、三角形中位線定理、直角三角形30度角性質、扇形的面積公式、弓形的面積等知識，解題的關鍵是靈活運用所學知識，學會添加常用輔助線，學會用分割法求陰影部分面積，屬于中考常考題型．