Question

5．已知四邊形ABCD是⊙O的內接四邊形，∠ABC=2∠D，連接OC、OA、AC．
（1）如圖①，求∠OCA的度數；
（2）如圖②，連接OB、OB與AC相交于點E，若∠COB=90°，OC=2$\sqrt{3}$，求BC的長和陰影部分的面積．

Answer 1

分析 （1）根據四邊形ABCD是⊙O的內接四邊形得到∠ABC+∠D=180°，根據∠ABC=2∠D得到∠D+2∠D=180°，從而求得∠D=60°，最后根據OA=OC得到∠OAC=∠OCA=30°；
（2）由∠COB為直角，然后利用S_陰影=S_扇形OBC-S_△OEC求解．

解答 解：（1）∵四邊形ABCD是⊙O的內接四邊形，
∴∠ABC+∠D=180°，
∵∠ABC=2∠D，
∴∠D+2∠D=180°，
∴∠D=60°，
∴∠AOC=2∠D=120°，
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA=30°；

（2）∵∠COB=3∠AOB，
∴∠AOC=∠AOB+3∠AOB=120°，
∴∠AOB=30°，
∴∠COB=∠AOC-∠AOB=90°，
在Rt△OCE中，OC=2$\sqrt{3}$，
∴OE=OC•tan∠OCE=2$\sqrt{3}$•tan30°=2$\sqrt{3}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=2，
∴S_△OEC=$\frac{1}{2}$OE•OC=$\frac{1}{2}$×2×2$\sqrt{3}$=2$\sqrt{3}$，
∴S_扇形OBC=$\frac{90π×（2\sqrt{3}）^{2}}{360}$=3π，
∴S_陰影=S_扇形OBC-S_△OEC=3π-2$\sqrt{3}$．

點評 本題考查了扇形面積的計算，圓內接四邊形的性質，解直角三角形的知識，在求不規則的陰影部分的面積時常常轉化為幾個規則幾何圖形的面積的和或差．