Question

20．如圖，已知△ABC中，∠ACB=90°；用直尺和圓規作圖 （保留作圖痕跡）：
（1）在CB上畫出點D，使點D到AC、AB的距離相等．
（2）在AB上找出點C關于BD的對稱點E，連接DE．
（3）若AC=6cm，CB=8cm，求線段CD的長．

Answer 1

分析 （1）作∠BAC的平分線交BC于D，則點D滿足條件；
（2）過點D作DE⊥AB于E，則點D與點E關于AD對稱；
（3）利用角平分線的性質定理得到DC=DE，設CD=xcm，則DE=xcm，BD=（8-x）cm，先利用勾股定理計算出AB=10，然后證明Rt△BDE∽Rt△BAC，再利用相似比求出x即可．

解答 解：（1）如圖，點D為所作；
（2）如圖，點E為所作；

（3）∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DC⊥AC，
∴DC=DE，
設CD=xcm，則DE=xcm，BD=（8-x）cm，
在Rt△ABC中，AB=$\sqrt{{6}^{2}+{8}^{2}}$=10，
∵∠DBE=∠ABC，
∴Rt△BDE∽Rt△BAC，
∴$\frac{DE}{AC}$=$\frac{BD}{BA}$，即$\frac{x}{6}$=$\frac{8-x}{10}$，解得x=3，
即CD的長為3cm．

點評 本題考查了作圖-基本作圖：熟練掌握基本作圖（作一條線段等于已知線段；作一個角等于已知角；作已知線段的垂直平分線；作已知角的角平分線；過一點作已知直線的垂線）．