Question

15．直線y=-$\frac{3}{4}$x+6與坐標軸分別交于A、B兩點，動點P、Q同時從O點出發，同時到達A點，運動停止．點Q沿線段OA運動，速度為每秒1個單位長度，點P沿路線O→B→A運動．
（1）直接寫出A、B兩點的坐標；
（2）設點Q的運動時間為t秒，△OPQ的面積為S，求出S與t之間的函數關系式并寫出自變量t相應的取值范圍；
（3）當S=$\frac{48}{5}$時，求出點P的坐標，并直接寫出以點O、P、Q為頂點的平行四邊形的第四個頂點M的坐標．
（4）△ABO與△OPQ在運動過程中能否相似，若存在，求出對應的時間t的值或取值范圍．

Answer 1

分析 （1）分別令y=0，x=0，即可求出A、B的坐標；
（2）因為OA=8，OB=6，利用勾股定理可得AB=10，進而可求出點Q由O到A的時間是8秒，點P的速度是2，從而可求出，
當P在線段OB上運動（或0≤t≤3）時，OQ=t，OP=2t，S=t²，當P在線段BA上運動（或3＜t≤8）時，OQ=t，AP=6+10-2t=16-2t，作PD⊥OA于點D，由相似三角形的性質，得PD=$\frac{48-6t}{5}$，利用S=$\frac{1}{2}$OQ×PD，即可求出答案；
（3）令S=$\frac{48}{5}$，求出t的值，進而求出OD、PD，即可求出P的坐標，利用平行四邊形的對邊平行且相等，結合簡單的計算即可寫出M的坐標；
（4）當點P在OB上時，由已知條件得到$\frac{OP}{OQ}≠\frac{OA}{OB}$，得到△OAB與△OPQ不相似；當點P在AB上時，①當∠PQO=90°時，即PQ⊥OA，②當∠OPQ=90°時，即PO⊥PQ，根據相似三角形的性質即可得到結論．

解答 解：（1）y=0，x=0，求得A（8，0），B（0，6），

（2）∵OA=8，OB=6，
∴AB=10．
∵點Q由O到A的時間是$\frac{8}{1}$=8（秒），
∴點P的速度是$\frac{6+10}{8}$=2（單位長度/秒）．
當P在線段OB上運動（或0＜t≤3）時，
OQ=t，OP=2t，S=t²．
當P在線段BA上運動（或3＜t＜8）時，
OQ=t，AP=6+10-2t=16-2t，
如圖，過點P作PD⊥OA于點D，
由$\frac{PD}{BO}$=$\frac{AP}{AB}$，得PD=$\frac{48-6t}{5}$．
∴S=$\frac{1}{2}$OQ•PD=-$\frac{3}{5}$t²+$\frac{24}{5}$t．

（3）當S=$\frac{48}{5}$時，∵$\frac{48}{5}$$＞\frac{1}{2}$×3×6，∴點P在AB上，
當S=$\frac{48}{5}$時，-$\frac{3}{5}$t²+$\frac{24}{5}$t=$\frac{48}{5}$，
∴t=4，
∴PD=$\frac{48-6×4}{5}$=$\frac{24}{5}$，AP=16-2×4=8
AD=$\sqrt{{8}^{2}-（\frac{24}{5}）^{2}}$=$\frac{32}{5}$，
∴OD=8-$\frac{32}{5}$=$\frac{8}{5}$
∴P（$\frac{8}{5}$，$\frac{24}{5}$），
M₁（$\frac{28}{5}$，$\frac{24}{5}$），M₂（-$\frac{12}{5}$，$\frac{24}{5}$），M₃（$\frac{12}{5}$，-$\frac{24}{5}$）；

（4）當點P在OB上時，
∵$\frac{OP}{OQ}$=2，$\frac{OA}{OB}=\frac{4}{3}$，
∴$\frac{OP}{OQ}≠\frac{OA}{OB}$，
∴△OAB與△OPQ不相似；
當點P在AB上時，
①當∠PQO=90°時，即PQ⊥OA，
∴△APQ∽△ABO，
∴$\frac{AP}{AB}=\frac{AQ}{AO}$，即$\frac{16-2t}{10}=\frac{8-t}{8}$，
解得：t=8（不合題意），
②當∠OPQ=90°時，即PO⊥PQ，
∴△OPQ∽△AOB，
∴∠POQ=∠BAO，
∴OP=AP=16-2t，
∴$\frac{OP}{OA}=\frac{OQ}{AB}$，即$\frac{16-2t}{8}=\frac{t}{10}$，
∴t=$\frac{40}{7}$，
∴△ABO與△OPQ在運動過程中相似t=$\frac{40}{7}$．

點評 本題主要考查了勾股定理，相似三角形的判定和性質，平行線分線段成比例以及一次函數的綜合應用，要注意的是（2）中，要根據P點的不同位置進行分類求解．