Question

6．如圖，在平面直角坐標系中，點M的坐標是（5，4），⊙M與y軸相切于點C，與x軸相交于A，B兩點．
（1）則點A，B，C的坐標分別是A（2，0），B（8，0），C（0，4）；
（2）設經過A，B兩點的拋物線的解析式為y=$\frac{1}{4}$（x-5）²+k，它的頂點為F，求證：直線FA與⊙M相切；
（3）在拋物線的對稱軸上，是否存在點P，且點P在x軸的上方，使△PBC是等腰三角形，如果存在，請求出點P的坐標；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）連接AM，MC，設MF交x軸于點D，由M點的坐標可求得MC、MD的長，可求得C點坐標，在Rt△ADM中可求得AD，則容易求得A、B坐標；
（2）由A點坐標可求得拋物線解析式，則可求得MF的長，由勾股定理的逆定理可判定△AMF為直角三角形，則可證得結論；
（3）可設P點坐標為（5，t），則可表示出PB、CP、結合BC的長，當△PBC為等腰三角形時，則有PB=BC和CP=BC兩種情況，分別可得到關于t的方程，可求得t的值中，則可求得P點坐標．

解答 解：
（1）如圖，連接AM，MC，設MF交x軸于點D，

∵⊙M與y軸相切于點C，
∴MC⊥y軸，
∵M（5，4），
∴MC=MA=OD=5，MD=4，
∴C（0，4），
在Rt△ADM中，由勾股定理可得AD=3，
∴OA=OD-AD=5-3=2，OB=OD+BD=OD+BD=5+3=8，
∴A（2，0），B（8，0），
故答案為：2；0；8；0；0；4；
（2）把A點坐標代入拋物線解析式，可得0=$\frac{1}{4}$（2-5）²+k，解得k=-$\frac{9}{4}$，
∴拋物線解析式為y=$\frac{1}{4}$（x-5）²-$\frac{9}{4}$，
∴F（5，-$\frac{9}{4}$），
∴MF=4-（-$\frac{9}{4}$）=$\frac{25}{4}$，AF=$\sqrt{（2-5）^{2}+（\frac{9}{4}）^{2}}$=$\frac{15}{4}$，
∴AF²+MA²=（$\frac{15}{4}$）²+5²=$\frac{625}{16}$=（$\frac{25}{4}$）²=MF²，
∴△AMF為直角三角形，其中MA⊥AF，
∴直線FA與⊙M相切；
（3）∵P點在拋物線的對稱軸上，
∴可設P點坐標為（5，t），
∵C（0，4），B（8，0），
∴BC=$\sqrt{{4}^{2}+{8}^{2}}$=4$\sqrt{5}$，PC=$\sqrt{{5}^{2}+（t-4）^{2}}$=$\sqrt{{t}^{2}-8t+41}$，PB=$\sqrt{（5-8）^{2}+{t}^{2}}$=$\sqrt{{t}^{2}+9}$，
∵△PBC為等腰三角形，且P在拋物線的對稱軸上，
∴有PB=BC或PC=BC兩種情況，
①當PB=BC時，則$\sqrt{{t}^{2}-8t+41}$=4$\sqrt{5}$，解得t=4+$\sqrt{55}$（大于0，在x軸上方，舍去）或t=4-$\sqrt{55}$，此時P點坐標為（5，4-$\sqrt{55}$）；
②當PC=BC時，則$\sqrt{{t}^{2}+9}$=4$\sqrt{5}$，解得t=$\sqrt{71}$＞0舍去，或t=-$\sqrt{71}$，此時P點坐標為（5，-$\sqrt{71}$）；
綜上可知存在滿足條件的點P，其坐標為（5，4-$\sqrt{55}$）或（5，-$\sqrt{71}$）．

點評 本題為二次函數的綜合應用，涉及切線的性質、垂徑定理、待定系數法、勾股定理及其逆定理、切線的判定、等腰三角形的性質、方程思想及分類討論思想等知識點．在（1）中確定出利用切線的性質容易求得C點坐標，利用垂徑定理求得AD的長是解題的關鍵，在（2）中求得F點的坐標，求得MF、AF的長是解題的關鍵，在（3）中用P點的坐標表示出PB、PC的長是解題的關鍵，注意分類討論．本題考查知識點較多，綜合性較強，難度適中．