Question

13．如圖，拋物線y=x²+bx+5與x軸交于點A和點B（5，0），與y軸交于點C，拋物線的頂點為點P．
（1）求拋物線的表達式并寫出頂點P的坐標；
（2）在x軸上方的拋物線上有一點D，若∠ABD=∠ABP，試求出點D的坐標；
（3）設在直線BC下方的拋物線上有一點Q，若S_△BCQ=15，試求出點Q的坐標．

Answer 1

分析 （1）直接把B點坐標代入y=x²+bx+5中求出b的值即可得到拋物線解析式，然后把一般式配成頂點式得到P點坐標；
（2）直線BD交y軸于點E，作PH⊥x軸于點H，如圖，先確定B（5，0），再通過證明△OBE∽△HBP，利用相似比計算出OE=10，則E（0，10），于是利用待定系數(shù)法可確定直線BE的解析式為y=-2x+10，然后解方程組$\left\{\begin{array}{l}{y={x}^{2}-6x+5}\\{y=-2x+10}\end{array}\right.$得點D的坐標；
（3）過點Q作y軸的平行線交BC于點P，如圖，先確定C點坐標，再利用待定系數(shù)法求出直線BC的解析式為y=-x+5，設Q（t，t²-6t+5）（0＜t＜5），則P（t，-t+5），則可表示出PQ=-t²+5t，利用三角形面積公式得到$\frac{1}{2}$•5•（-t²+5t）=15，然后解方程求出t即可得到點Q的坐標．

解答 解：（1）把B（5，0）代入y=x²+bx+5得25+5b+5=0，解得b=-6，
∴拋物線解析式為y=x²-6x+5，
∵y=x²-6x+5=（x-3）²-4，
∴頂點P的坐標為（3，-4）；
（2）直線BD交y軸于點E，作PH⊥x軸于點H，如圖，
當y=0時，x²-6x+5=0，解得x₁=1，x₂=5，則B（5，0），
∵P（3，-4），
∴PH=4，OH=3，
∴BH=5-3=2，
∵∠ABD=∠ABP，
∴△OBE∽△HBP，
∴$\frac{OE}{PH}$=$\frac{OB}{BH}$，即$\frac{OE}{4}$=$\frac{5}{2}$，解得OE=10，
∴E（0，10），
設直線BE的解析式為y=kx+b，
把E（0，10），B（5，0）代入得$\left\{\begin{array}{l}{b=10}\\{5k+b=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-2}\\{b=10}\end{array}\right.$，
∴直線BE的解析式為y=-2x+10，
解方程組$\left\{\begin{array}{l}{y={x}^{2}-6x+5}\\{y=-2x+10}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=5}\\{y=0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-1}\\{y=12}\end{array}\right.$，
∴點D的坐標為（-1，12）；
（3）過點Q作y軸的平行線交BC于點P，如圖，
當x=0時，y=x²-6x+5=5，則C（0，5），
設直線BC的解析式為y=mx+n，
把B（5，0），C（0，5）代入得$\left\{\begin{array}{l}{5m+n=0}\\{n=5}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{m=-1}\\{n=5}\end{array}\right.$，
∴直線BC的解析式為y=-x+5，
設Q（t，t²-6t+5）（0＜t＜5），則P（t，-t+5），
∴PQ=-t+5-（t²-6t+5）=-t²+5t，
∴△BCQ的面積=$\frac{1}{2}$•5•PQ，
即$\frac{1}{2}$•5•（-t²+5t）=15，解得t₁=2，t₂=3，
∴點Q的坐標為（2，-3）或（3，-4）．

點評 本題考查了二次函數(shù)的綜合題：熟練掌握二次函數(shù)圖象上點的坐標特征和二次函數(shù)的性質(zhì)；會利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式；能應用相似比計算線段的長；理解坐標與圖形的性質(zhì)．