Question

1．已知：拋物線的對稱軸為x=-1，與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點C，其中A（-3，0）、C（0，-2）．
（1）求這條拋物線的函數表達式．
（2）已知在對稱軸上存在一點P，使得△PBC的周長最�。�請求出點P的坐標．
（3）若點D是線段OC上的一個動點（不與點O、點C重合）．過點D作DE∥PC交x軸于點E．連接PD、PE．設CD的長為m，△PDE的面積為S．求S與m之間的函數關系式．試說明S是否存在最大值，若存在，請求出最大值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）已知拋物線過C（0，-2）點，那么c=-2；根據對稱軸為x=-1，因此-$\frac{2a}$=-1，然后將A點的坐標代入拋物線中，通過聯立方程組即可得出拋物線的解析式；
（2）本題的關鍵是確定P點的位置，由于A是B點關于拋物線對稱軸的對稱點，因此連接AC與拋物線對稱軸的交點就是P點．可根據A，C的坐標求出AC所在直線的解析式，然后根據一次函數的解析式求出與拋物線對稱軸的交點，即可得出P點的坐標；
（3）△PDE的面積=△OAC的面積-△PDC的面積-△ODE的面積-△AEP的面積，△OAC中已知A，C的坐標，可求出△OAC的面積．△PDC中以CD為底邊，P的橫坐標的絕對值為高，即可表示出△PDC的面積．△ODE中可先用m表示出OD的長，然后根據△ODE與△OAC相似，求出OE的長，根據三角形的面積計算公式可用m表示出△ODE的面積．△PEA中以AE為底邊（可用OE的長表示出AE），P點的縱坐標的絕對值為高，可表示出△PEA的面積．由此可表示出△ODE的面積，即可得出關于S，m的函數關系式．然后根據函數的性質，求出三角形的最大面積以及對應的m的值．

解答 解：（1）設y=ax²+bx+c（a≠0），則
$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{2a}=-1}\\{9a-3b+c=0}\\{c=-2}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{2}{3}}\\{b=\frac{4}{3}}\\{c=-2}\end{array}\right.$，
∴此拋物線的解析式為y=$\frac{2}{3}$x²+$\frac{4}{3}$x-2；

（2）如圖，連接AC、BC．
因為BC的長度一定，所以△PBC周長最小，就是使PC+PB最�。�
B點關于對稱軸的對稱點是A點，AC與對稱軸x=-1的交點即為所求的點P．
設直線AC的表達式為y=kx+b，則
$\left\{\begin{array}{l}{-3k+b=0}\\{b=-2}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{2}{3}}\\{b=-2}\end{array}\right.$，
∴此直線的表達式為y=-$\frac{2}{3}$x-2，
把x=-1代入得y=-$\frac{4}{3}$
∴P點的坐標為（-1，-$\frac{4}{3}$）；

（3）S存在最大值，
理由：如圖，∵DE∥PC，即DE∥AC，
∴△OED∽△OAC，
∴$\frac{OD}{OC}$=$\frac{OE}{OA}$，即$\frac{2-m}{2}$=$\frac{OE}{3}$，
∴OE=3-$\frac{3}{2}$m，OA=3，AE=$\frac{3}{2}$m，
∴S=S_△OAC-S_△OED-S_△AEP-S_△PCD
=$\frac{1}{2}$×3×2-$\frac{1}{2}$×（3-$\frac{3}{2}$m）×（2-m）-$\frac{1}{2}$×$\frac{3}{2}$m×$\frac{4}{3}$-$\frac{1}{2}$×m×1
=-$\frac{3}{4}$m²+$\frac{3}{2}$m
=-$\frac{3}{4}$（m-1）²+$\frac{3}{4}$
∵-$\frac{3}{4}$＜0，
∴當m=1時，S_最大=$\frac{3}{4}$．

點評 本題屬于二次函數綜合題，本題主要考查了待定系數法求二次函數解式、軸對稱中的最短路徑問題、三角形的面積公式、二次函數求最大值，相似三角形的判定與性質等的綜合應用，解題時注意：若無法直接求出三角形的面積時，可用其他圖形的面積經過“和差”的關系來求出其面積．