Question

14．如圖，Rt△ABC中，∠C=90°，BC=8cm，AC=6cm．點P從 B出發沿BA向A運動，速度為每秒1cm，點E是點B以P為對稱中心的對稱點，點P運動的同時，點Q從A出發沿AC向C運動，速度為每秒2cm，當 點Q到達頂點C時，P，Q同時停止運動，設P，Q兩點運動時間為t秒．
（1）當t為何值時，PQ∥BC？
（2）設四邊形PQCB的面積為y，求y關于t的函數關系式；并說明四邊形PQCB面積能否是△ABC面積的$\frac{3}{5}$？若能，求出此時t的值；若不能，請說明理由；
（3）當t為何值時，△AEQ為等腰三角形？

Answer 1

分析 （1）先在Rt△ABC中，由勾股定理求出AB=10，再由BP=t，AQ=2t，得出AP=10-t，然后由PQ∥BC，根據平行線分線段成比例定理得出$\frac{AP}{AB}=\frac{AQ}{AC}$，列出比例式=$\frac{10-t}{10}=\frac{2t}{6}$，求解即可；
（2）根據S_{四邊形PQCB}=S_△ACB-S_△APQ=$\frac{1}{2}$AC•BC-$\frac{1}{2}$AP•AQ•sinA，即可得出y關于t的函數關系式；根據四邊形PQCB面積是△ABC面積的$\frac{3}{5}$，列出方程$\frac{4}{5}$t²-8t+24=$\frac{3}{4}$×24，解方程即可；
（3）△AEQ為等腰三角形時，分三種情況討論：①AE=AQ；②EA=EQ；③QA=QE，每一種情況都可以列出關于t的方程，解方程即可．

解答 解：（1）Rt△ABC中，∵∠C=90°，BC=8cm，AC=6cm，
∴AB=10cm．
∵BP=t，AQ=2t，
∴AP=AB-BP=10-t．
∵PQ∥BC，
∴$\frac{AP}{AB}=\frac{AQ}{AC}$，
∴$\frac{10-t}{10}=\frac{2t}{6}$，
解得t=$\frac{30}{13}$；

（2）∵S_{四邊形PQCB}=S_△ACB-S_△APQ=$\frac{1}{2}$AC•BC-$\frac{1}{2}$AP•AQ•sinA
∴y=$\frac{1}{2}$×6×8-$\frac{1}{2}$×（10-t）•2t•$\frac{8}{10}$=24-$\frac{4}{5}$t（10-t）
=$\frac{4}{5}$t²-8t+24，
即y關于t的函數關系式為y=$\frac{4}{5}$t²-8t+24；
∵四邊形PQCB面積能是△ABC面積的$\frac{3}{5}$，
∴$\frac{4}{5}$t²-8t+24=$\frac{3}{5}$×24，
整理，得t²-10t+12=0，
解得t₁=5-$\sqrt{13}$，t₂=5+$\sqrt{13}$（不合題意舍去）．
故四邊形PQCB面積能是△ABC面積的$\frac{3}{5}$，此時t的值為5-$\sqrt{13}$；

（3）△AEQ為等腰三角形時，分三種情況討論：
①如果AE=AQ，那么10-2t=2t，解得t=$\frac{5}{2}$；
②如果EA=EQ，那么（10-2t）×$\frac{6}{10}$=t，解得t=$\frac{30}{11}$；
③如果QA=QE，那么2t×$\frac{6}{10}$=5-t，解得t=$\frac{25}{11}$．
故當t為$\frac{5}{2}$秒$\frac{30}{11}$秒$\frac{25}{11}$秒時，△AEQ為等腰三角形．

點評 此題是幾何變換綜合題，主要考查了勾股定理，平行線的判定，四邊形的面積，等腰三角形的判定，中心對稱的性質，綜合性較強，難度適中．運用分類討論、方程思想是解題的關鍵．