Question

2．如圖，AB、AC是⊙O的切線，B、C為切點，過點O作AB的平行線交AC于點D，DE⊥AB于點E．
（1）判斷四邊形ODEB的形狀，并給予證明；
（2）將DA沿DE翻折后對應線段為DA′，判斷DA′與⊙O的位置關系，證明你的結論，
（3）若tanA=$\frac{4}{3}$，AD=5．直接寫出四邊形ABOC的周長為24．

Answer 1

分析 （1）結論：四邊形ODEB是矩形．首先證明四邊形ODEB是平行四邊形，再證明∠OBE=90°即可．
（2）結論：DA′是⊙O的切線，作OK⊥DA′于K．理由角平分線的性質定理，只要證明OK=OC即可．
（3）四邊形ODEB是矩形，推出EB=OD，DE=OB，∠DEB=∠DEA=90°，設OD=EB=x，在Rt△ADE中，∵AD=5，tanA=$\frac{4}{3}$，推出DE=OB=OC=4，AE=3，由AC、AB是切線，推出AC=AB=3+x，CD=3+x-5=x-2，在Rt△CDO中，根據CD²+OC²=DO²列出方程求出x即可解決問題．

解答 解：（1）四邊形ODEB是矩形．
理由：∵AB是切線，
∴OB⊥AB，∵DE⊥AB，
∴DE∥OB，
∵OD∥AB，
∴四邊形ODEB是平行四邊形，
∵∠OBE=90°，
∴四邊形ODEB是矩形．

（2）結論：DA′是⊙O的切線，
理由：作OK⊥DA′于K．
∵DA沿DE翻折后對應線段為DA′，
∴∠ADE=∠A′DE，
∵四邊形ODEB是矩形，
∴∠ODE=90°，
∴∠ODK+∠EDK=90°，∠ADE+∠CDO=90°，
∴∠ODC=∠ODK，
∵AC 是⊙O切線，
∴OC⊥DC，∵OK⊥DK，
∴OK=OC，
∴DA′是⊙O的切線．

（3）∵四邊形ODEB是矩形，
∴EB=OD，DE=OB，∠DEB=∠DEA=90°，設OD=EB=x，
在Rt△ADE中，∵AD=5，tanA=$\frac{4}{3}$，
∴DE=OB=OC=4，AE=3，
∵AC、AB是切線，
∴AC=AB=3+x，CD=3+x-5=x-2，
在Rt△CDO中，∵CD²+OC²=DO²，
∴（x-2）²+4²=x²，
∴x=5，
∴AB=AC=8，CO=OB=4，
∴四邊形ABOC的周長為24．
故答案為24．

點評 本題考查圓綜合題、矩形的判定和性質、切線的判定和性質、勾股定理等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，學會用方程的思想思考問題，屬于中考壓軸題．