Question

10．如圖，在菱形ABCD中，∠B=60°，AB=a，點E，F(xiàn)分別是邊AB，AD上的動點，且AE+AF=a，則線段EF的最小值為$\frac{\sqrt{3}}{2}$a．

Answer 1

分析 由在邊長為a的菱形ABCD中，易得△ABC、△CAD都是邊長為a的正三角形，繼而證得△ACE≌△DCF，繼而證得△CEF是正三角形，繼而可得當動點E運動到點B或點A時，CE的值最大，當CE⊥AB，即E為AB的中點時，EF的值最小．

解答 解：連接AC、CE、CF，如圖所示：
∵四邊形ABCD是邊長為a的菱形，∠B=60°，
∴△ABC、△CAD都是邊長為a的正三角形，
∴AB=BC=CD=AC=AD，∠CAE=∠ACB=∠ACD=∠CDF=60°，
∵AE+AF=a，
∴AE=a-AF=AD-AF=DE，
在△ACE和△DCF中，$\left\{\begin{array}{l}{AE=DF}&{\;}\\{∠CAE=∠CDF}&{\;}\\{AC=DC}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ACE≌△DCF（SAS），
∴∠ACE=∠DCF，
∴∠ACE+∠ACF=∠DCF+∠ACF，
∴∠ECF=∠ACD=60°，
∴△CEF是正三角形，
∴EF=CE=CF，
當動點E運動到點B或點A時，CE的最大值為a，
當CE⊥AB，即E為BD的中點時，CE的最小值為$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，
∵EF=CE，
∴EF的最小值為$\frac{\sqrt{3}}{2}$a．
故答案為：$\frac{\sqrt{3}}{2}$a．

點評 此題考查了菱形的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)．注意證得△ACE≌△DCF是解此題的關(guān)鍵．