高三數學（理科）模擬試題
一、選擇題：（本大題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。）
1
計算
＝
（A）
（B）
（C）
（D）
2 過點
的直線
經過圓
的圓心，則直線的傾斜角大小為
（A）
（B）
（C）
（D）
3 設函數f（
x ）的圖象關于點（1，
）對稱，且存在反函數
( x )，若f（3） = 0，
則（3）等于
（A）－1
（B）
4 設m，n是兩條不同的直線，α、β、γ是三個不同的平面 給出下列四個命題：
①若m⊥α，n∥α，則m⊥n； ②若α⊥γ，β⊥γ，則α∥β；
③若m∥α，n∥α，則m∥n； ④若α∥β，β∥γ，m⊥α，，則m⊥γ
其中正確命題的序號是：
（A）①和② （B）②和③ （C）③和④ （D）①和④
5．已知一個正四棱錐的各棱長均相等，則其相鄰兩側面所成的二面角的大小為
(A)arcos
(B)arcsin(-
) (C)arctan(
) (D)arccot(
)
6 
，則“
”是“
”的
（A）充分非必要條件 （B）必要非充分條件
（C）充分必要條件 （D）既非充分也非必要條件
7 若點
在雙曲線
的左準線上，過點
且方向向量為
的光線，經直線
反射后通過雙曲線的左焦點，則這個雙曲線的離心率為
(A)
(B)
(C)
(D)
8．已知四面體
中，
與
間的距離與
夾角分別為3與
，則四面體的體積為
（A）
（B）1 （C）2 （D）
９．從1，2，3，4，5 中取三個不同數字作直線
中
的值，使直線與圓
的位置關系滿足相離，這樣的直線最多有
（A）30條 （B）20條 （C）18條 （D）12條
10．已知等差數列{an}與等差數列{bn}的前n項和分別為Sn和Tn，若
，則
(A)
(B)
(C)
(D)
11．若
，則方程
在（0，2）上恰有（ ）個實根．
(A)0 (B)1 (C)2 (D)3
12．已知M點為橢圓上一點，橢圓兩焦點為F1，F2，且
，點I為
的內心，延長MI交線段F
的值為
（A）
（B）
（C）
（D）
二、填空題：（本大題共4小題，每小題4分，共16分。）
13 已知
滿足
,則
的最大值為
14 
的展開式的二項式系數之和為64，則展開式中常數項為
15 已知定義在正實數集上的連續函數
,則實數
的值為
16．若函數f(x)=
在(0，3)上單調遞增，則a∈
。
三、解答題：（本大題共6小題，共74分，解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。）
17 （本小題12分）
已知函數
（I）求函數
的最小正周期;
(II) 當
時,求函數的最大值,最小值
18 （本小題12分）
一廠家向用戶提供的一箱產品共10件，其中有2件次品，用戶先對產品進行不放回抽檢以決定是否接收 抽檢規則是這樣的：一次取一件產品檢查，若前三次沒有抽查到次品，則用戶接收這箱產品，而前三次中只要抽查到次品就停止抽檢，并且用戶拒絕接收這箱產品
（I）求這箱產品被用戶拒絕接收的概率；
（II）記x表示抽檢的產品件數，求x的概率分布列及期望
19 （本小題滿分12分）
如圖，已知正三棱柱ABC－ 
，D是AC的中點，∠
DC = 60°
（Ⅰ）求證：A
∥平面BD；
（Ⅱ）求二面角D－B－C的大小。
20 （本小題12分）
已知函數
（
）
(Ⅰ) 當
時,求函數
的單調區間;
(Ⅱ) 若不等式
對
恒成立,求a的取值范圍
21 （本小題12分）
如圖，在直角坐標系中，O為坐標原點，直線
⊥x軸于點C， 
，
,動點
到直線的距離是它到點D的距離的2倍
（I）求點的軌跡方程；
（II）設點K為點的軌跡與x軸正半軸的交點,直線交點的軌跡于
兩點（與點K均不重合）,且滿足
求直線EF在X軸上的截距；
（Ⅲ）在（II）的條件下，動點
滿足
,求直線
的斜率的取值范圍
22．（本小題14分）已知數列
中的相鄰兩項
是關于
的方程
的兩個根，且
．
（I）求
，
，
，
；
（II）求數列的前
項的和
；
（Ⅲ）記
，
，
求證：
．
高三數學（理科）模擬試題
題號
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
二、填空題：
13、 14、 15、 16、
三、解答題：
17、
18、
19、
20、
21、
22、
一、1 B 2 D
二、13、3 14、-160 15、
16、
三、17、解: (1)
……
3分
的最小正周期為
…………………
5分
(2) 
,
………………… 7分
………………… 10分
…………………
11分
當
時,函數的最大值為1,最小值
………… 12分
18、（I）解：設這箱產品被用戶拒絕接收事件為A,被接收為
，則由對立事件概率公式
得：
即這箱產品被用戶拒絕接收的概率為
…………
6分
（II）
………… 10分
1
2
3
P
…………11分
∴ E=
…………12分
19、解法一：
（Ⅰ）連結B
于O，則O是BC的中點，連結DO。
∵在△A
C中，O、D均為中點，
∴A∥DO …………………………2分
∵A
平面B
D，DO
平面BD，
∴A∥平面BD。…………………4分
（Ⅱ）設正三棱柱底面邊長為2，則DC = 1。
∵∠DC = 60°，∴C= 
。
作DE⊥BC于E。
∵平面BC⊥平面ABC，
∴DE⊥平面BC
作EF⊥B于F，連結DF，則 DF⊥B
∴∠DFE是二面角D-B-C的平面角……………………………………8分
在Rt△DEC中，DE=
在Rt△BFE中，EF =
BE?sin
∴在Rt△DEF中，tan∠DFE = 
∴二面角D－B－C的大小為arctan
………………12分
解法二：以AC的中D為原點建立坐標系，如圖，
設| AD | = 1∵∠DC =60°∴| C|
= 。
則A（1，0，0），B（0，，0），C（-1，0，0），
（1，0），
，
（Ⅰ）連結C交B
于O是C的中點，連結DO，則
O
. 
=
∵A平面BD，
∴A∥平面BD.……………………………………………………………4分
（Ⅱ）
=（-1，0，），
設平面BD的法向量為n = （ x , y , z ），則
即
則有
= 0令z = 1
則n = （，0，1）…………………………………………………………8分
設平面BC的法向量為m = ( x′
,y′，z′)
|
令y = -1，解得m = （
…………１２分
求導得:
……………2分
時, 
解得
或
解得
，
,
,即
,解得
或
………… 6分
時,列表得：
時，因為
,所以
，
時，由表可知函數在
時，
對
，解得
……………12分
的軌跡是以點
為焦點、直線
為其相應準線,
的橢圓
，
，∴點
,則
3，
,
為橢圓的對稱中心
,設直線
的方程為
（－２〈n〈2）,代入
,
………… 6分
，K（2，0）,
,
,
(舍)
…………8分
,由
知,
的斜率為
時,
;
時,
,
時取“=”）或
時取“=”），
………… 12分
的兩個根為
，
，
時，
，所以
；
時，
，
，所以
；
時，
，
，所以
時；
時，
，
，所以
． ………… 4分
．
………… 8分
，
，
．
………… 9分
時，
，
…………
11分
．
…………
13分
時，
．
…………
14分