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分析 連結A₁D，由A₁B₁∥C₁D₁，得∠A₁DB₁是B₁D與C₁D₁所成角，由此能求出B₁D與C₁D₁所成角的正弦值．

解答 解：在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，
連結A₁D，∵A₁B₁∥C₁D₁，
∴∠A₁DB₁是B₁D與C₁D₁所成角，
設正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中棱長為1，
${A}_{1}D=\sqrt{2}$，B₁D=$\sqrt{1+1+1}$=$\sqrt{3}$，
∴cos∠A₁DB₁=$\frac{{A}_{1}{{B}_{1}}^{2}+D{{B}_{1}}^{2}-{A}_{1}{D}^{2}}{2×{A}_{1}{{B}_{1}}^{\;}×{B}_{1}D}$=$\frac{1+3-2}{2×1×\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
sin$∠{A}_{1}D{B}_{1}=\sqrt{1-（\frac{\sqrt{3}}{3}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$．
∴B₁D與C₁D₁所成角的正弦值是$\frac{\sqrt{6}}{3}$．
故選：A．

點評 本題考查線線角的正弦值的求法，是基礎題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養．