Question

13．已知函數f（x）=x+ae^π（a∈R）．
（1）討論函數f（x）的單調性；
（2）當x＜0，a≤1時，證明：x²+（a+1）x＞f'（x）．

Answer 1

分析 （1）求出函數的導數，通過a與0的大小討論，導函數的符號，得到函數的單調性．
（2）令F（x）=x²+（a+1）x-xf'（x），化簡F（x）的表達式，令H（x）=x+a-ae^x，求出H'（x）=1-ae^x，判斷H（x）在（-∞，0）上為增函數，得到H（x）＜H（0）=0，然后證明結果．

解答 解：（1）由f（x）=x+ae^x可得f'（x）=1+ae^x．
當a≥0時，f'（x）＞0，則函數f（x）在（-∞，+∞）上為增函數，
當a＜0時，f'（x）＞0可得$x＜ln（{-\frac{1}{a}}）$，由f'（x）＜0可得$x＞ln（{-\frac{1}{a}}）$；
則函數f（x）在$（{-∞，ln（{-\frac{1}{a}}）}）$上為增函數，在$（{ln（{-\frac{1}{a}}），+∞}）$上為減函數…（4分）
（2）證明：令F（x）=x²+（a+1）x-xf'（x），
則F（x）=x²+（a+1）x-xf'（x）=x²+ax-axe^x=x（x+a-ae^x），
令H（x）=x+a-ae^x，則H'（x）=1-ae^x，
∵x＜0，∴0＜e^x＜1，又a≤1，∴1-ae^x≥1-e^x＞0，
∴H（x）在（-∞，0）上為增函數，則H（x）＜H（0）=0，即x+a-ae^x＜0，
由x＜0可得F（x）=x（x+a-ae^x）＞0，所以x²+（a+1）x＞xf'（x）…（12分）

點評 本題考查函數的導數的綜合應用，函數的單調性以及構造法的應用，函數的最值的求法，考查分類討論以及轉化思想的應用．