Question

3．若關于x的不等式$（{ax-20}）lg\frac{2a}{x}≤0$對任意的正實數x恒成立，則a的取值范圍是（　　）

• A． [-10，10]
• B． $[-\sqrt{10}，\sqrt{10}]$
• C． $（-∞，\sqrt{10}]$
• D． $\left\{{\sqrt{10}}\right\}$

Answer 1

分析 不等式$（{ax-20}）lg\frac{2a}{x}≤0$等價于$\left\{\begin{array}{l}{ax-20≥0}\\{lg\frac{2a}{x}≤0}\\{x＞0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{ax-20≤0}\\{lg\frac{2a}{x}≥0}\\{x＞0}\end{array}\right.$，解之可得x=$\sqrt{10}$，a=$\sqrt{10}$，從而可得答案．

解答 解：不等式$（{ax-20}）lg\frac{2a}{x}≤0$等價于$\left\{\begin{array}{l}{ax-20≥0}\\{lg\frac{2a}{x}≤0}\\{x＞0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{ax-20≤0}\\{lg\frac{2a}{x}≥0}\\{x＞0}\end{array}\right.$，
∴$\frac{20}{x}$≤a≤$\frac{x}{2}$或$\frac{x}{2}$≤a≤$\frac{20}{x}$，
∴$\frac{20}{x}$=$\frac{x}{2}$，解得：x=2$\sqrt{10}$，
∴$\sqrt{10}$≤a≤$\sqrt{10}$，即a=$\sqrt{10}$，
∴實數a的取值范圍是{$\sqrt{10}$}．
故選：D．

點評 本題考查不等式的解法，考查恒成立問題，考查學生的計算能力，屬于中檔題．