Question

15．“存在x∈（0，+∞）使不等式mx²+2x+m＞0成立”為假命題，則m的取值范圍為（-∞，-1]．

Answer 1

分析 原命題為假命題，則原命題的否定：“?x∈（0，+∞），不等式mx²+2x+m≤0成立”為真命題，利用分離參數(shù)法求出a的范圍即可；

解答 解：原命題：“存在x∈（0，+∞）使不等式mx²+2x+m＞0成立”為假命題；
原命題的否定：“?x∈（0，+∞），不等式mx²+2x+m≤0成立”為真命題；
當原命題的否定為真時：
?x＞0，mx²+2x+m≤0 化簡后：m≤-$\frac{2x}{{x}^{2}+1}$
令h（x）=-$\frac{2x}{{x}^{2}+1}$ 
⇒h（x）=-2×$\frac{1}{x+\frac{1}{x}}$
∵x+$\frac{1}{x}$ $≥\$ 2，⇒0＜$\frac{1}{x+\frac{1}{x}}$$≤\frac{1}{2}$⇒-1≤h（x）＜0
故h（x）最小值為-1；
此時m的取值范圍為：（-∞，-1]；
故答案為：（-∞，-1]．

點評 本題主要考查了原命題與命題否定之間的關系，同時考查轉(zhuǎn)化思想與分離參數(shù)法，屬中等題．