Question

5．已知函數f（x）=2cos²x+2$\sqrt{3}$sinxcosx+a的最大值為2．
（1）求a的值，并求函數f（x）圖象的對稱軸方程；
（2）將函數y=f（x）的圖象向右平移$\frac{π}{12}$個單位，得到函數y=g（x）的圖象，求函數g（x）在區間[$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$]上的值域．

Answer 1

分析 （1）由條件利用兩角和的正弦公式化簡函數f（x）的解析式，再利用正弦函數圖象的性質解答．
（2）由條件利用函數y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規律求得g（x）的解析式，再利用正弦函數的定義域和值域求得函數y=g（x）在區間[$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$]上的值域．

解答 解：（1）$f（x）=2{cos^2}x+2\sqrt{3}sinxcosx+a=2sin（2x+\frac{π}{6}）+a+1$
y_max=2+a+1=2⇒a=-1$f（x）=2sin（2x+\frac{π}{6}）$，
對稱軸：$x=\frac{kπ}{2}+\frac{π}{6}（k∈Z）$；
（2）$g（x）=f（x-\frac{π}{12}）=2sin2x$$x∈[\frac{π}{6}，\frac{π}{3}]⇒2x∈[\frac{π}{3}，\frac{2π}{3}]⇒sin2x∈[\frac{{\sqrt{3}}}{2}，1]⇒2sin2x∈[\sqrt{3}，2]$
函數g（x）在區間$[\frac{π}{6}，\frac{π}{3}]$上的值域為：$[\sqrt{3}，2]$．

點評 本題主要考查兩角和的正弦公式，正弦函數的對稱性，函數y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規律，正弦函數的定義域和值域，屬于基礎題．