Question

14．已知函數f（x）=x+$\frac{a}{x}$．且f（1）=5．
（1）求a的值；
（2）判斷函數f（x）的奇偶性；
（3）判斷函數f（x）在（2，+∞）上的單調性并用定義證明你的結論．

Answer 1

分析 （1）根據條件解方程即可．
（2）根據函數奇偶性的定義進行判斷即可．
（3）利用函數單調性的定義進行證明即可．

解答 解：（1）由f（1）=5，得：5=1+a∴a=4…（3分）
（2）$f（x）=x+\frac{4}{x}$∵x∈（-∞，0）∪（0，+∞）且$f（-x）=-（x+\frac{4}{x}）=-f（x）$，
∴f（x）為奇函數．…（6分）
（3）任取：2＜x₁＜x₂
∵$f（{x_1}）-f（{x_2}）={x_1}+\frac{4}{x_1}-{x_2}-\frac{4}{x_2}=（{x_1}-{x_2}）+\frac{{4（{x_2}-{x_1}）}}{{{x_1}{x_2}}}=（{x_1}-{x_2}）（1-\frac{4}{{{x_1}{x_2}}}）$
…（9分）
∵$2＜{x_1}＜{x_2}∴{x_1}-{x_2}＜0{x_1}{x_2}＞4\frac{4}{{{x_1}{x_2}}}＜1$，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，
∴f（x）在（2，+∞）上為增函數   …（12分）

點評 本題主要考查函數奇偶性和單調性的判斷和應用，結合函數奇偶性和單調性的定義是解決本題的關鍵．