Question

5．已知函數f（x）是一次函數，g（x）是反比例函數，且滿足f[f（x）]=x+2，g（1）=-1
（1）求函數f（x）和g（x）；
（2）設h（x）=f（x）+g（x），判斷函數h（x）在（0，+∞）上的單調性，并用定義加以證明．

Answer 1

分析 （1）設出函數的解析式，通過待定系數法求出函數的解析式即可；
（2）求出h（x）的解析式，根據函數單調性的定義判斷函數的單調性即可．

解答 解：（1）因為f（x）是一次函數，g（x）是反比例函數
∴設f（x）=ax+b（a≠0），g（x）=$\frac{k}{x}$（k≠0），
∵f[f（x）]=x+2，
∴a（ax+b）+b=x+2，
∴a²x+（a+1）b=x+2，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}=1}\\{（a+1）b=2}\end{array}\right.$，解得：a=1，b=1，
故f（x）=x+1；
∵g（1）=-1，故k=-1，
故g（x）=-$\frac{1}{x}$；
（2）判斷：函數h（x）在（0，+∞）上是增函數，
由（1）知h（x）=$x-\frac{1}{x}$+1，設x₁，x₂是（0，+∞）上的任意兩個實數，且x₁＜x₂，
h（x₁）-h（x₂）=（x₁-$\frac{1}{{x}_{1}}$）-（x₂-$\frac{1}{{x}_{2}}$）=（x₁-x₂）（1+$\frac{1}{{{x}_{1}x}_{2}}$），
∵0＜x₁＜x₂，∴x₁-x₂＜0，x₁x₂＞0，
∴h（x₁）-h（x₂）＜0，即h（x₁）＜h（x₂），
∴函數h（x）在（0，+∞）遞增．

點評 本題考查了待定系數法求函數的解析式問題，考查定義法判斷函數的單調性問題，是一道基礎題．