Question

14．某校高中一年級組織學生參加了環保知識競賽，并抽取了其中20名學生的成績進行分析．右圖是這20名學生競賽成績（單位：分）的頻率分布直方圖，其分組為[100，110），[110，120），…，[130，140），[140，150]．
（Ⅰ）求圖中a的值及成績分別落在[100，110）與[110，120）中的學生人數；
（Ⅱ） 學校決定從成績在[110，120）的學生中任選2名進行座談，求這2人的成績都在[110，120）的概率．

Answer 1

分析 （Ⅰ） 根據頻率分布直方圖知組距為10，從而（2a+4a+5a+7a+2a）×10=1，由此能求出圖中a的值及成績分別落在[100，110）與[110，120）中的學生人數．
（Ⅱ） 記成績落在[100，110）中的2人為A₁，A₂，成績落在[110，120）中的4人為B₁，B₂，B₃，B₄，由此利用列舉法能求出這2人的成績都在[110，120）的概率．

解答 解：（Ⅰ） 根據頻率分布直方圖知組距為10，
由（2a+4a+5a+7a+2a）×10=1，
解得a=$\frac{1}{200}$=0.005．（2分）
所以成績落在[100，110）中的人數為2×0.005×10×20=2，（4分）
成績落在[110，120）中的人數為4×0.005×10×20=4．（6分）
（Ⅱ） 記成績落在[100，110）中的2人為A₁，A₂，
成績落在[110，120）中的4人為B₁，B₂，B₃，B₄，
則從成績在[100，120）的學生中任選2人的基本事件共有15個：
{A₁，A₂}，{A₁，B₁}，{A₁，B₂}，{A₁，B₂}，{A₁，B₃}，{A₁，B₄}，{A₂，B₁}，{A₂，B₂}，
{A₂，B₃}，{A₂，B₄}，{B₁，B₂}，{B₁，B₃}，{B₁，B₄}，{B₂，B₃}，{B₂，B₄}，{B₃，B₄}，
其中2人的成績都在[110，120）中的基本事件有6個：
{B₁，B₂}，{B₁，B₃}，{B₁，B₄}，{B₂，B₃}，{B₂，B₄}，{B₃，B₄}，
所以所求概率為p=$\frac{6}{15}=\frac{2}{5}$．（12分）

點評 本題考查頻率分布直方圖的應用，考查概率的求法，是基礎題，注意列舉法的合理運用．