Question

15．若體積為12的長方體的每個頂點都在球O的球面上，且此長方體的高為4，則球O的表面積的最小值為（　　）

• A． 10π
• B． 22π
• C． 24π
• D． 28π

Answer 1

分析 設長方體的三度為a，b，c，則ab=3，c=4，長方體的對角線的長度，就是外接球的直徑，求出直徑的最小值，即可求出球O表面積的最小值．

解答 解：設長方體的三度為a，b，c，則ab=3，c=4．
長方體的對角線的長度，就是外接球的直徑，所以2r=$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}+16}$≥$\sqrt{2ab+16}$=$\sqrt{22}$，
當且僅當a=b時，r的最小值為$\frac{\sqrt{22}}{2}$
所以球O表面積的最小值為：4πr²=22π．
故選：B．

點評 本題是基礎題，考查長方體的外接球的應用，球的表面積的求法，考查計算能力．