Question

設某銀行一年內吸納儲戶存款的總數與銀行付給儲戶年利率的平方成正比，若該銀行在吸納到儲戶存款后即以5%的年利率把儲戶存款總數的90%貸出以獲取利潤，問銀行支付給儲戶年利率定為多少時，才能獲得最大利潤？
（注：銀行獲得的年利潤是貸出款額的年利息與支付給儲戶的年利息之差．）

Answer 1

解：設銀行支付給儲戶的年利率為x，銀行獲得的年利潤為y，
則y=kx²×0.9×0.05-kx²•x=0.045kx²-kx³（x＞0）．
y'=0.09kx-3kx²=3kx（0.03-x），
令y'=0，得x=0.03，
當x＜0.03時，y'＞0；
當x＞0.03時，y'＜0．
故當x=0.03時，y取極大值，
并且這個極大值就是函數y的最大值．
所以，當銀行支付給儲戶年利率為3%時，銀行可獲得的年利潤．
分析：設銀行支付給儲戶的年利率為x，銀行獲得的年利潤為y，則y=kx²×0.9×0.05-kx²•x=0.045kx²-kx³（x＞0）．y'=0.09kx-3kx²=3kx（0.03-x），令y'=0，得x=0.03，由此能求出當銀行支付給儲戶年利率為3%時，銀行可獲得的年利潤．
點評：本題考查函數的生產實際中的具體應用，是中檔題．解題時要認真審題，注意尋找數理量間的等價關系，合理地建立方程．恰當地利用導數的性質進行求解．