Question

14．在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，設E是棱CC₁的中點．
（1）求證：BD⊥AE
（2）求證：AC∥平面B₁DE；
（3）求銳二面角E-BD-C的余弦值．

Answer 1

分析 （1）連接BD，AE，推導出BD⊥AC，EC⊥BD，由此能證明BD⊥AE．
（2）連接AC₁，設 AC₁∩B₁D=G，連接GE，則AC∥GE，由此能證明AC∥平面B₁DE．
（3）連結DE、BE，取BD中點O，連結EO，CO，則EO⊥BD，CO⊥BD，∠EOC是二面角E-BD-C的平面角，由此能求出二面角E-BD-C的余弦值．

解答 證明：（1）連接BD，AE，
∵四邊形ABCD為正方形，∴BD⊥AC，
∵E是棱CC₁的中點，∴EC⊥底面ABCD，
∵BD?面ABCD，∴EC⊥BD，
又EC∩AC=C，∴BD⊥平面AEC，
∵AE?平面AEC，∴BD⊥AE．（4分）
（2）連接AC₁，設 AC₁∩B₁D=G，連接GE，
則G為AC₁中點，而E為C₁C的中點，
∴GE為三角形ACC₁的中位線，∴AC∥GE，
∵GE?平面B₁DE，AC?平面B₁DE，
∴AC∥平面B₁DE．（8分）
解：（3）連結DE、BE，
設正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中棱長為2，
則CE=1，DE=BE=$\sqrt{{2}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
取BD中點O，連結EO，CO，則EO⊥BD，CO⊥BD，
∴∠EOC是二面角E-BD-C的平面角，
OC=$\frac{1}{2}BD=\frac{1}{2}\sqrt{{4}^{2}+{4}^{2}}$=$\sqrt{2}$，
∴OE=$\sqrt{（\sqrt{2}）^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{3}$，
∴cos∠EOC=$\frac{OC}{OE}$=$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{6}}{3}$．
∴二面角E-BD-C的余弦值為$\frac{\sqrt{6}}{3}$．（12分）

點評 本題考查線線垂直的證明，考查線面平行的證明，考查二面角的余弦值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養．