Question

19．已知函數f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$的部分圖象如圖所示．
（Ⅰ）  求函數f（x）的解析式；
（Ⅱ）  若f（$\frac{α}{2}$）=$\frac{4}{5}$，求sin（$\frac{5π}{6}$-α）的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由函數的圖象的頂點坐標求出A，由周期求出ω，由五點法作圖求出φ的值，可得函數的解析式．
（Ⅱ） 若f（$\frac{α}{2}$）=sin（α+$\frac{π}{6}$）=$\frac{4}{5}$，再利用誘導公式求得sin（$\frac{5π}{6}$-α）的值．

解答 解：（Ⅰ）根據函數f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$的部分圖象，可得A=1，
∵f（x）的最小正周期為4•（$\frac{5π}{12}$-$\frac{π}{6}$），故ω=2．
根據五點法作圖，可得2×$\frac{π}{6}$+φ=$\frac{π}{2}$，∴φ=$\frac{π}{6}$，故函數f（x）=sin（2x+$\frac{π}{6}$）．
（Ⅱ） 若f（$\frac{α}{2}$）=sin（α+$\frac{π}{6}$）=$\frac{4}{5}$，則sin（$\frac{5π}{6}$-α）=sin[π-（α+$\frac{π}{6}$）]=sin（α+$\frac{π}{6}$）=$\frac{4}{5}$．

點評 本題主要考查由函數y=Asin（ωx+φ）的部分圖象求解析式，由函數的圖象的頂點坐標求出A，由周期求出ω，由五點法作圖求出φ的值，屬于基礎題．