Question

9．一商船行至索馬里海域時，遭到海盜的追擊，隨即發出求救信號．正在該海域執行護航任務的海軍“黃山”艦在A處獲悉后，即測出該商船在方位角為45°距離10海里的C處，并沿方位角為105°的方向，以9海里/時的速度航行．“黃山”艦立即以21海里/時的速度前去營救．如圖所示，求“黃山”艦靠近商船所需要的最少時間及所經過的路程．

Answer 1

分析 設所需時間為t小時，在點B處相遇則可求得AB和BC，進而利用余弦定理建立等式求得t，從而可得結論．

解答 解：設所需時間為t小時，…（1分）
則AB=21t，BC=9t．…（2分）
又已知AC=10，依題意知，∠ACB=120°，…（3分）
根據余弦定理，AB²=AC²+BC²-2•AC•BCcos∠ACB．…（5分）
∴（21t）²=10²+（9t）²-2×10×9tcos 120°，…（6分）
∴（21t）²=100+81t²+90t，
即360t²-90t-100=0．…（8分）
∴t=$\frac{2}{3}$或t=-$\frac{5}{12}$（舍）．…（10分）
∴AB=21×$\frac{2}{3}$=14（海里）．…（11分）
即“黃山”艦需要用$\frac{2}{3}$小時靠近商船，共航行14海里．…（12分）

點評 本題主要考查了解三角形的實際應用，考查余弦定理，屬于中檔題．