Question

14．函數f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{1-{x}^{2}，x≤1}\\{lnx，x＞1}\end{array}\right.$，若方程f（x）=mx-$\frac{1}{3}$恰有四個不等的實數根，則實數m的取值范圍是（$\frac{1}{3}$，${e}^{-\frac{2}{3}}$） ．

Answer 1

分析 方程f（x）=mx-$\frac{1}{3}$恰有四個不等的實數根，可化為函數f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{1-{x}^{2}，x≤1}\\{lnx，x＞1}\end{array}\right.$，y=mx-$\frac{1}{3}$恰有四個不同的交點，作出函數f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{1-{x}^{2}，x≤1}\\{lnx，x＞1}\end{array}\right.$，y=mx-$\frac{1}{3}$的圖象，由數形結合求解．

解答 解：（x）=mx-$\frac{1}{3}$恰有四個不等的實數根，
可化為函數f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{1-{x}^{2}，x≤1}\\{lnx，x＞1}\end{array}\right.$，y=mx-$\frac{1}{3}$恰有四個不同的交點，
作出函數f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{1-{x}^{2}，x≤1}\\{lnx，x＞1}\end{array}\right.$，y=mx-$\frac{1}{3}$的圖象，
由已知的C（0，-$\frac{1}{3}$），B（1，0），∴${k}_{BC}=\frac{1}{3}$；     
當x＞1時，f（x）=lnx，f′（x）=$\frac{1}{x}$，
設切點A的坐標為（x₁，lnx₁），$\frac{ln{x}_{1}+\frac{1}{3}}{{x}_{1}}=\frac{1}{{x}_{1}}$，得x₁=${e}^{\frac{2}{3}}$，
故k_AC =$\frac{1}{{x}_{1}}={e}^{-\frac{2}{3}}$，
結合圖象可得數m的取值范圍是：（$\frac{1}{3}$，e${\;}^{-\frac{2}{3}}$），
故答案為：（$\frac{1}{3}$，e${\;}^{-\frac{2}{3}}$）．

點評 本題考查了方程的根與函數的零點的關系應用及函數的圖象的作法與應用，屬于中檔題．