Question

4．已知函數f（x）是二次函數，以下4種說法：
①對于任意的非零實數m，n，p，關于x的方程m[f（x）]²+nf（x）+p=0的解集都不可能是{1，2}；
②對于任意的非零實數m，n，p，關于x的方程m[f（x）]²+nf（x）+p=0的解集都不可能是{1，4}；
③對于任意的非零實數m，n，p，關于x的方程m|f（x）|²+n|f（x）|+p=0的解集都不可能是{1，2，3，4}
；
④對于任意的非零實數m，n，p，關于x的方程m|f（x）|²+n|f（x）|+p=0的解集都不可能是{1，4，16，64}．
正確的是①②③．（寫出所有正確的代號）

Answer 1

分析 利用二次函數的圖象的對稱性、中點坐標公式即可判斷出結論．

解答 解：∵f（x）=ax²+bx+c的對稱軸為直線x=-$\frac{b}{2a}$，
設方程m[f（x）]²+nf（x）+p=0的解為y₁，y₂，
必有y₁=ax²+bx+c，y₂=ax²+bx+c，
那么從圖象上看，y=y₁，y=y₂是一條平行于x軸的直線，它們與f（x）有交點．
由于對稱性，則方程y₁=ax²+bx+c的兩個解x₁，x₂要關于直線x=-$\frac{b}{2a}$對稱，
也就是說2（x₁+x₂）=-$\frac{2b}{a}$，同理方程y₂=ax²+bx+c的兩個解x₃，x₄也要關于直線x=-$\frac{b}{2a}$對稱．
那就得到2（x₃+x₄）=-$\frac{2b}{a}$．
在C中，可以找到對稱軸直線x=2.5，
也就是1，4為一個方程的解，2，3為一個方程的解，
所以得到的解的集合可以是{1，2，3，4}．
而在D中，{1，4，16，64}，中間兩個數4，16的對稱軸為10，而最大值和最小值1，64的對稱軸為x=$\frac{65}{2}$，
即函數的圖象不是軸對稱圖形．
綜上可得：只有①②③正確．
故答案為：①②③．

點評 本題考查了二次函數的圖象的對稱性、中點坐標公式，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．