Question

9．定義在R上的奇函數f（x）和偶函數g（x）滿足：f（x）+g（x）=e^x，給出如下結論：
①f（x）=$\frac{{{e^x}-{e^{-x}}}}{2}$且0＜f（1）＜g（2）；
②?x∈R，總有[g（x）]²-[f（x）]²=1；
③?x∈R，總有f（-x）g（-x）+f（x）g（x）=0；
④?x₀∈R，使得f（2x₀）＞2f（x₀）g（x₀）．
其中所有正確結論的序號是（　　）

• A． ①②③
• B． ②③
• C． ①③④
• D． ①②③④

Answer 1

分析 根據已知中定義在R上的偶函數g（x）和奇函數f（x）滿足f（x）+g（x）=e^x，根據奇函數和偶函數的性質，我們易得到關于f（x）、g（x）的另一個方程：f（-x）+g（-x）=e^-x，解方程組即可得到g（x）的解析式．然后根據函數f（x）和g（x）的解析式，分別進行判斷即可．

解答 解：①∵f（x）為定義在R上的奇函數，
∴f（-x）=-f（x）
又∵g（x）為定義在R上的偶函數，
g（-x）=g（x）
由f（x）+g（x）=e^x，①
∴f（-x）+g（-x）=-f（x）+g（x）=e^-x，②
∴由①②得，f（x）=$\frac{1}{2}$（e^x-e^-x），g（x）=$\frac{1}{2}$（e^x+e^-x），
則f（x）在定義域R上是增函數，∴f（0）＜f（1）＜g（2）；
即0＜f（1）＜g（2）；故①正確，
②?x∈R，[g（x）]²-[f（x）]²=[g（x）+f（x）][g（x）-f（x）]=e^x•e^-x=e^x-x=e⁰=1；故②正確，
③?x∈R，總有f（-x）g（-x）+f（x）g（x）=-f（x）g（x）+f（x）g（x）=0；故③正確，
④f（2x）=$\frac{1}{2}$（e^2x-e^-2x），
2f（x）g（x）=2×$\frac{1}{2}$（e^x-e^-x）×$\frac{1}{2}$（e^x+e^-x）=$\frac{1}{2}$（e^2x-e^-2x），
則?x∈R，f（2x）=2f（x）g（x）．
則?x₀∈R，使得f（2x₀）＞2f（x₀）g（x₀）為假命題．
故正確的命題是①②③，
故選：A．

點評 本題主要考查命題的真假判斷，涉及函數奇偶性的應用，根據條件建立方程組求出函數的解析式是解決本題的關鍵．