Question

18．已知f（x）=1+log₂x（1≤x≤4），設函數g（x）=f²（x）+f（x²），則g（x）_max-g（x）_min=5．

Answer 1

分析 換元t=log₂x，求得0≤t≤1，化簡g（x）即為h（t）=t²+4t+2，0≤t≤1，求出對稱軸t=-2，可得h（t）在[0，1]為增函數，計算即可得答案．

解答 解：∵f（x）=1+log₂x（1≤x≤4），
∴$\left\{\begin{array}{l}{1≤x≤4}\\{1≤{x}^{2}≤4}\end{array}\right.$，即1≤x≤2，
∵f（x）=1+log₂x（1≤x≤4），
g（x）=f²（x）+f（x²）=（1+log₂x）²+1+2log₂x，
∴g（x）=（log₂x）²+4log₂x+2，1≤x≤2
設t=log₂x，則h（t）=t²+4t+2，0≤t≤1，
∵對稱軸t=-2，h（t）在[0，1]為增函數，
∴g（x）的最小值為h（0）=2，最大值為h（1）=7
則g（x）_max-g（x）_min=7-2=5．
故答案為：5．

點評 本題考查函數的最值的求法，注意運用換元法轉化為二次函數求值域問題，注意自變量的范圍，同時考查對數函數的單調性的運用，屬于中檔題和易錯題．