Question

17．探究函數(shù)f（x）=2x+$\frac{8}{x}$，x∈（0，+∞）最小值，并確定取得最小值時x的值．列表如下：

x	…	0.5	1	1.5	1.7	1.9	2	2.1	2.2	2.3	3	4	5	7	…
y	…	17	10	8.34	8.1	8.01	8	8.01	8.04	8.08	8.6	10	11.6	15.14	…

請觀察表中y值隨x值變化的特點，完成以下的問題．
（1）函數(shù)f（x）=2x+$\frac{8}{x}$（x＞0）在區(qū)間（0，2）上遞減；函數(shù)f（x）=2x+$\frac{8}{x}$（x＞0）在區(qū)間（2，+∞）上遞增．當(dāng)x=2時，y_最小=8．
（2）證明：函數(shù)f（x）=2x+$\frac{8}{x}$（x＞0）在區(qū)間（0，2）遞減．
（3）思考：函數(shù)f（x）=2x+$\frac{8}{x}$（x＜0）時，有最值嗎？是最大值還是最小值？此時x為何值？（直接回答結(jié)果，不需證明）

Answer 1

分析 （1）根據(jù)表格可求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，根據(jù)單調(diào)性可求得最小值；
（2）利用單調(diào)性的定義可作出證明；
（3）根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)可作出回答．

解答 解：（1）f（x）在（2，+∞）遞增；當(dāng)x=2時，y取得最小值8．
故答案為：（2，+∞），2，8．
（2）證明：設(shè)x₁，x₂是區(qū)間（0，2）上的任意兩個數(shù)，且x₁＜x₂，
f（x₁）-f（x₂）=2x₁+$\frac{8}{{x}_{1}}$-（2x₂+$\frac{8}{{x}_{2}}$）=2（x₁-x₂）+8（$\frac{1}{{x}_{1}}$-$\frac{1}{{x}_{2}}$）
=2（x₁-x₂）（1-$\frac{4}{{x}_{1}{x}_{2}}$）=$\frac{2（{x}_{1}-{x}_{2}）（{x}_{1}{x}_{2}-4）}{{x}_{1}{x}_{2}}$，
由x₁＜x₂，可知x₁-x₂＜0，
又x₁，x₂∈（0，2），可知0＜x₁x₂＜4，即x₁x₂-4＜0，則f（x₁）-f（x₂）＞0，
故函數(shù)f（x）=2x+$\frac{8}{x}$（x＞0）在區(qū)間（0，2）遞減；
（3）函數(shù)f（x）=2x+$\frac{8}{x}$在（-∞，0）時，當(dāng)x=-2時，有最大值-8．

點評 本題考查函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)及其證明，同時考查奇函數(shù)的性質(zhì)：最值相反，屬基礎(chǔ)題．